1. Определите боковую поверхность конуса, который образуется при вращении прямоугольного треугольника вокруг

Конус образуется при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Чтобы определить боковую поверхность конуса, нам необходимо знать длину окружности основания этого конуса.

1. Определение боковой поверхности конуса, образованного вращением прямоугольного треугольника вокруг длинного катета длиной 24 см:

Чтобы найти длину окружности основания, нужно использовать формулу:
\[C = 2\pi r\]
где \(C\) - длина окружности, \(\pi\) - математическая константа, равная примерно 3.14159, \(r\) - радиус окружности.

В данной задаче, длинный катет прямоугольного треугольника играет роль радиуса окружности, так как при вращении вокруг него образуется конус. То есть, \(r = 24\) см.

Теперь, мы можем определить длину окружности основания:
\[C = 2\pi r = 2 \cdot 3.14159 \cdot 24 \approx 150.796 cм.\]

Так как боковая поверхность конуса является окружностью, и ее длина равна \(C\), то боковая поверхность конуса, образованного вращением прямоугольного треугольника вокруг длинного катета, равна приблизительно 150.796 квадратных сантиметров.

Ответ: Боковая поверхность конуса равна приблизительно 150.796 см².

2. Определение боковой поверхности конуса, образованного вращением прямоугольного треугольника вокруг короткого катета длиной 18 см:

Для определения боковой поверхности конуса в данном случае, нам также необходимо найти длину окружности основания конуса.

Короткий катет прямоугольного треугольника играет роль радиуса окружности, т.е \(r = 18\) см.

Теперь мы можем вычислить длину окружности основания:
\[C = 2\pi r = 2 \cdot 3.14159 \cdot 18 \approx 113.097 cм.\]

Следовательно, боковая поверхность конуса, образованного вращением прямоугольного треугольника вокруг короткого катета, равна приблизительно 113.097 квадратных сантиметров.

Ответ: Боковая поверхность конуса равна приблизительно 113.097 см².