1. Not having walked down the road, he began to sing. 2. Having entered the room, I immediately recognized him

1. Не пройдя по дороге, он начал петь.
Это предложение представляет нам конструкцию Past Participle (причастие прошедшего времени), которое имеет значение действия, совершившегося до указанного момента в прошлом. В данном случае действие "walked down the road" не совершилось, поэтому используется отрицание "not having". "He began to sing" - он начал петь.

2. Войдя в комнату, я сразу узнал его.
Здесь мы также имеем конструкцию Past Participle, которое описывает действие, предшествующее другому действию. "Having entered the room" - войдя в комнату, "I immediately recognized him" - я сразу узнал его.

3. Надев пальто, она быстро выбежала из дома.
В данном предложении также используется конструкция Past Participle. "Putting on the coat" - надев пальто, "she quickly ran out of the house" - она быстро выбежала из дома.

4. Мужчина, который преподаёт математику в их школе, учился в Одессе.
Это предложение описывает человека, преподающего математику, и дополнительную информацию о его образовании. "The man who teaches math at their school" - человек, который преподаёт математику в их школе, "had studied in Odessa" - учился в Одессе.

5. Переведенная на иностранный язык, история потеряла всю свою прелесть.
Здесь мы имеем конструкцию Past Participle "translated into a foreign language" - переведенная на иностранный язык, которая предшествует действию "the story lost all its charm" - история потеряла всю свою прелесть.

6. Вернувшись домой, она обнаружила, что никого нет.
Предложение включает конструкцию Participle I (деепричастие) "coming home" - вернувшись домой, которое предшествует действию "she discovered that nobody was there" - она обнаружила, что никого нет.