1) Найти длину диагонали BD параллелограмма ABCD, если диагональ AC равна 14 см, а расстояние между прямой

Задача 1:
Для нахождения длины диагонали BD параллелограмма ABCD, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора. Сначала найдем длину отрезка BD.

Используем данные из условия задачи:
Диагональ AC равна 14 см.
Расстояние между прямой AC и плоскостью α равно 6 см.
Проекция отрезка AD на плоскость α равна √13 см.
Проекция отрезка DC на плоскость α равна 2√7 см.

Заметим, что треугольник ABD прямоугольный, так как диагональ AC разделяет параллелограмм на два равных треугольника.

Найдем длину отрезка BD с помощью теоремы Пифагора:
\[BD^2 = AD^2 + AB^2\]

Значение отрезка AD равно проекции √13 и расстоянию между прямой AC и плоскостью α:
\[AD = \sqrt{(\sqrt{13})^2 - 6^2} = \sqrt{13 - 36} = \sqrt{-23}\]

Длина отрезка AB равна половине длины диагонали AC:
\[AB = \frac{AC}{2} = \frac{14}{2} = 7\]

Теперь можем найти длину диагонали BD:
\[BD = \sqrt{(\sqrt{-23})^2 + 7^2} = \sqrt{23 + 49} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\]

Ответ: Длина диагонали BD параллелограмма ABCD равна 6√2 см.

Задача 2:
Для определения значения косинуса угла между прямыми AB₁ и A₁D в прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁, мы можем использовать геометрические свойства прямоугольного треугольника.

Используем данные из условия задачи:
AA₁ = A₁B₁ = 6√2 см
AD = 3 см

Заметим, что треугольник AD₁A₁ является прямоугольным, так как все его стороны соответствуют ребрам прямоугольного параллелепипеда.

Теперь найдем значение косинуса угла между прямыми AB₁ и A₁D:
\[\cos(\angle AB₁A₁D) = \frac{AD}{AA₁}\]
\[\cos(\angle AB₁A₁D) = \frac{3}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}\]

Ответ: Значение косинуса угла между прямыми AB₁ и A₁D в прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁ равно \(\frac{\sqrt{2}}{4}\).

Задача 3:
Если CF : FB = CK : KA, то отношение между точками F, K, M и E может быть выражено следующим образом:

Формула: \(\frac{FM}{MB} = \frac{KM}{MA}\), \(\frac{FM}{MC₁} = \frac{KM}{KC₁}\), \(\frac{EM}{MC₁} = \frac{KM}{KA₁}\), \(\frac{EM}{MC} = \frac{KM}{KA}\)

В данном случае, точки F и M находятся на ребре BC призмы ABCA₁B₁C₁, точки K и E находятся на ребре AC, а точки E и M -- на ребре A₁C₁. Еще, F и К находятся на расширении отрезка CB, а E и М находятся на расширении отрезка CA.

Отношение между точками F, K, M и E может быть выражено следующим образом:

\(\frac{FM}{MB} = \frac{KM}{MA}\) -- отношение между точками F, K, M и E на ребре BC
\(\frac{FM}{MC₁} = \frac{KM}{KC₁}\) -- отношение между точками F, K, M и E на ребре AC
\(\frac{EM}{MC₁} = \frac{KM}{KA₁}\) -- отношение между точками F, K, M и E на ребре A₁C₁
\(\frac{EM}{MC} = \frac{KM}{KA}\) -- отношение между точками F, K, M и E на ребре CA

Уточните, есть ли еще какая-то информация в задаче, и я смогу дать более конкретный ответ.