1) Найдите тангенс угла, смежного с более длинным катетом, в прямоугольном треугольнике с катетами длиной 3 см и

Давайте решим поставленные задачи по одной.

1) Нам нужно найти тангенс угла, смежного с более длинным катетом в прямоугольном треугольнике с катетами длиной 3 см и 2 см.

Тангенс угла определяется соотношением:
\[
\tan(\theta) = \frac{{\text{{противоположный катет}}}}{{\text{{прилежащий катет}}}}
\]

В данном случае, более длинный катет является противоположным, а менее длинный – прилежащим катетом. Таким образом, мы имеем:

\[
\tan(\theta) = \frac{3}{2} = 1.5
\]

Ответ: тангенс угла, смежного с более длинным катетом равен 1.5.

2) Теперь нужно найти синус угла, напротив более короткого катета в этом же треугольнике.

Синус угла определяется соотношением:
\[
\sin(\theta) = \frac{{\text{{противоположный катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}
\]

Мы знаем, что два катета составляют стороны прямоугольного треугольника, а гипотенуза - гипотетическая сторона треугольника, соединяющая два катета. Длина гипотенузы может быть найдена по теореме Пифагора:

\[
c = \sqrt{{a^2 + b^2}}
\]

В нашем случае, a = 3 см и b = 2 см, поэтому:
\[
c = \sqrt{{3^2 + 2^2}} = \sqrt{{9 + 4}} = \sqrt{{13}}
\]

Теперь, используя найденную гипотенузу, мы можем посчитать синус угла:
\[
\sin(\theta) = \frac{{2}}{{\sqrt{{13}}}} \approx 0.516
\]

Ответ: синус угла, напротив более короткого катета, приближенно равен 0.516.

3) Продолжая, найдем косинус угла, смежного с более длинным катетом в этом же треугольнике.

Косинус угла определяется соотношением:
\[
\cos(\theta) = \frac{{\text{{прилежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}
\]

Используя ту же гипотенузу, мы можем посчитать косинус угла:
\[
\cos(\theta) = \frac{{3}}{{\sqrt{{13}}}} \approx 0.935
\]

Ответ: косинус угла, смежного с более длинным катетом, приближенно равен 0.935.

4) Наконец, нужно найти котангенс угла, напротив более длинного катета в этом прямоугольном треугольнике.

Котангенс угла определяется соотношением:
\[
\cot(\theta) = \frac{{\text{{прилежащий катет}}}}{{\text{{противоположный катет}}}}
\]

В нашем случае, котангенс выглядит следующим образом:
\[
\cot(\theta) = \frac{{2}}{{3}} = 0.\overline{6}
\]

Ответ: котангенс угла, напротив более длинного катета, равен 0.6 (повторяющаяся десятичная дробь).