1. Найдите площадь и объем правильной треугольной призмы с ребром 3.2. 2. Найдите площадь поверхности и объем цилиндра

1. Площадь правильной треугольной призмы с ребром 3.2 можно найти, зная формулу: \(S = \frac{{3\sqrt{3}}}{4}a^2\), где \(S\) - площадь, \(a\) - длина ребра.
Подставим значения в формулу:
\[S = \frac{{3\sqrt{3}}}{4} \times 3.2^2\]
Вычислим это:
\[S \approx \frac{{3\sqrt{3}}}{4} \times 10.24 \approx 13.987 \, \text{квадратных сантиметров}\]

Объем правильной треугольной призмы можно найти, зная формулу: \(V = \frac{S \times h}{3}\), где \(V\) - объем, \(S\) - площадь основания, \(h\) - высота.
Для данной задачи предположим, что высота равна длине ребра. Тогда:
\[V = \frac{13.987 \times 3.2}{3} \approx 14.876 \, \text{кубических сантиметров}\]

2. Площадь поверхности цилиндра можно найти суммированием площади боковой поверхности и площади двух оснований. Формула для площади боковой поверхности: \(S_{\text{бок}} = 2\pi rh\), где \(S_{\text{бок}}\) - площадь боковой поверхности, \(r\) - радиус основания, \(h\) - высота цилиндра.
Для данной задачи предположим, что высота равна длине стороны осевого сечения - 16. Тогда:
\[S_{\text{бок}} = 2\pi \times 16 \times 16 = 512\pi \approx 1608.28 \, \text{квадратных сантиметров}\]

Площадь основания - это просто квадрат со стороной 16, поэтому:
\[S_{\text{осн}} = 16^2 = 256 \, \text{квадратных сантиметров}\]

Теперь найдем площадь поверхности, сложив площади боковой поверхности и двух оснований:
\[S = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}} \approx 1608.28 + 2 \times 256 = 2120.28 \, \text{квадратных сантиметров}\]

Объем цилиндра можно найти, умножив площадь основания на высоту:
\[V = S_{\text{осн}} \times h = 256 \times 16 = 4096 \, \text{кубических сантиметров}\]

3. Объем пирамиды можно найти, используя формулу: \(V = \frac{1}{3}S_{\text{осн}} \times h\), где \(V\) - объем, \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания, \(h\) - высота пирамиды.
Для данной задачи объем пирамиды можно найти, длину стороны правильного треугольника взяв как значение \(h\). Тогда:
\[V = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 1^2 \times 1 = \frac{\sqrt{3}}{12} \approx 0.144 \, \text{кубических единиц}\]

4. Расстояние от центра шара до плоскости можно найти с помощью формулы геометрического центра \(O\) для сферического треугольника:
\[O = \frac{1}{3}(O_1 + O_2 + O_3)\]
где \(O_1, O_2, O_3\) - орты радиус-векторов трех точек.
Подставляя значения в формулу:
\[O = \frac{1}{3}(6 + 8 + 10) = \frac{1}{3} \times 24 = 8\]

Таким образом, расстояние от центра шара до плоскости составляет 8.

5. Чтобы найти высоту усеченной пирамиды, необходимо воспользоваться теоремой Пифагора для боковой грани: \(h = \sqrt{L^2 - \left(\frac{a + b}{2}\right)^2}\), где \(h\) - высота пирамиды, \(L\) - образующая, \(a, b\) - длины оснований.
Подставляя значения в формулу:
\[h = \sqrt{43^2 - \left(\frac{4 + 43}{2}\right)^2} = \sqrt{1849 - 23.5^2} \approx \sqrt{1849 - 552.25} \approx \sqrt{1296.75} \approx 36.03 \, \text{см}\]

Теперь, когда у нас есть высота усеченной пирамиды, мы можем найти площадь поверхности. Для этого воспользуемся формулой:
\[S = \pi(a + b + L)r\]
где \(S\) - площадь поверхности, \(a, b\) - длины оснований, \(L\) - образующая, \(r\) - радиус окружности, описанной около нижнего основания.
Подставляя значения в формулу:
\[S = \pi(4 + 43 + 36.03) \times \left(\frac{43 - 4}{2}\right) = \pi \times 83.03 \times 19.5 \approx 5137.33 \, \text{квадратных сантиметров}\]