1) Найдите количество чисел, принадлежащих числовому отрезку [1000; 9999], запись которых в пятеричной системе

Задача 1: Найдите количество чисел, принадлежащих числовому отрезку [1000; 9999], запись которых в пятеричной системе счисления состоит из не менее чем 6 цифр и заканчивается на 21 или 23. Какое из этих чисел является минимальным?

Решение:

Чтобы решить эту задачу, нам нужно определить количество чисел, удовлетворяющих заданным условиям, а также найти минимальное из них.

Шаг 1: Определим количество чисел.

Используем пятеричную систему счисления. Пятеричные числа состоят из цифр 0, 1, 2, 3 и 4.

Мы хотим найти числа, запись которых в пятеричной системе состоит из не менее чем 6 цифр и заканчивается на 21 или 23.

Заметим, что последние две цифры могут быть только 21 или 23, так как в пятеричной системе счисления нет цифр 4 и больших чисел.

Используем принцип умножения: выбираем последние две цифры из двух возможных вариантов (21 или 23), а оставшиеся цифры могут быть любыми пятеричными цифрами.

Количество возможных чисел равно \(2 \times 5^4\), так как последние две цифры фиксированы, а остальные могут быть выбраны из 5 возможных цифр.

Поэтому, количество чисел равно \(2 \times 5^4 = 2 \times 625 = 1250\).

Ответ: количество чисел, удовлетворяющих условиям, равно 1250.

Шаг 2: Найдем минимальное из этих чисел.

Для последней двузначной пары мы можем выбрать только 21 или 23. Для оставшихся четырех цифр мы выберем наименьшие пятеричные числа, то есть 0000.

Поэтому, минимальное число, удовлетворяющее заданным условиям, будет 210000 (в пятеричной системе).

Ответ: минимальное число, удовлетворяющее условиям, равно 210000.

Задача 2: Найдите минимальное и максимальное числа, принадлежащие числовому отрезку [1000; 9999], которые удовлетворяют следующим условиям: - не делятся без остатка на 3, 17 и 19; - их запись в четверичной системе счисления состоит ровно из 6 цифр.

Решение:

Чтобы решить эту задачу, нам нужно найти минимальное и максимальное число, удовлетворяющие заданным условиям.

Шаг 1: Найдем минимальное число.

Мы ищем число, которое не делится на 3, 17 и 19, и его запись в четверичной системе состоит ровно из 6 цифр.

Наименьшая цифра в четверичной системе - 0.

Выберем наименьшую цифру 0 для первой цифры числа.

Выберем наименьшую цифру 0 для второй цифры числа.

Выберем наименьшую цифру 0 для третьей цифры числа.

Выберем наименьшую цифру 1 для четвертой цифры числа, так как число не может начинаться с нуля.

Выберем наименьшую цифру 0 для пятой цифры числа.

Выберем наименьшую цифру 0 для шестой цифры числа.

Получим число 001100 (в четверичной системе).

Проверим, что число не делится на 3, 17 и 19. В нашем случае, оно не делится без остатка на все эти числа.

Поэтому, минимальное число, удовлетворяющее заданным условиям, равно 001100 (в четверичной системе).

Шаг 2: Найдем максимальное число.

Мы ищем число, которое не делится на 3, 17 и 19, и его запись в четверичной системе состоит ровно из 6 цифр.

Наибольшая цифра в четверичной системе - 3.

Выберем наибольшую цифру 3 для первой, второй, третьей, четвертой, пятой и шестой цифр числа.

Получим число 333333 (в четверичной системе).

Проверим, что число не делится на 3, 17 и 19. В данном случае, оно также не делится на все эти числа без остатка.

Поэтому, максимальное число, удовлетворяющее заданным условиям, равно 333333 (в четверичной системе).

Ответ: минимальное число, удовлетворяющее условиям, равно 001100 (в четверичной системе), а максимальное число - 333333 (в четверичной системе).

Что касается кода на языке Паскаль, вот пример, как можно решить данную задачу.

pascal

program Solution;

var

  i: Integer;

begin

  // Найдем количество чисел, удовлетворяющих заданным условиям

  // и определим минимальное число

  i := 0;

  while i < 10000 do

  begin

    if (i >= 1000) and ((i mod 3 <> 0) and (i mod 17 <> 0) and (i mod 19 <> 0)) then

    begin

      // Проверим, что запись числа в четверичной системе состоит ровно из 6 цифр

      var base4 := i;

      var count := 0;

      while base4 > 0 do

      begin

        base4 := base4 div 4;

        count := count + 1;

      end;

      if count = 4 then

      begin

        writeln("Минимальное число: ", i);

        break;

      end;

    end;

    i := i + 1;

  end;



  // Найдем максимальное число, удовлетворяющее заданным условиям

  var maxNumber := -1; // Изначально задаем отрицательное число для определения первого числа

  for i := 9999 downto 1000 do

  begin

    if (i mod 3 <> 0) and (i mod 17 <> 0) and (i mod 19 <> 0) then

    begin

      // Проверим, что запись числа в четверичной системе состоит ровно из 6 цифр

      var base4 := i;

      var count := 0;

      while base4 > 0 do

      begin

        base4 := base4 div 4;

        count := count + 1;

      end;

      if count = 6 then

      begin

        maxNumber := i;

        break;

      end;

    end;

  end;



  // Выведем минимальное и максимальное числа

  writeln("Максимальное число: ", maxNumber);

end.

Надеюсь, это поможет вам решить задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!