1) Найдите длину стороны SD в четырехугольнике ABCD, где AB = 5, CS = 3, AD = 8, угол A = 90°, угол B = 120°. Ответ

1) Чтобы найти длину стороны SD в четырехугольнике ABCD, мы можем использовать теорему косинусов. Для этого, давайте поделим задачу на два треугольника - ASD и SBC.

Треугольник ASD:
У нас уже есть стороны AD = 8 и AS = CS + SD = 3 + SD. Также, у нас есть угол A = 90°.
Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти SD.
\[AD^2 = AS^2 + SD^2\]
\[8^2 = (3 + SD)^2 + SD^2\]
\[64 = 9 + 6SD + SD^2 + SD^2\]
\[2SD^2 + 6SD - 55 = 0\]

Теперь, мы можем решить это уравнение квадратным способом. Решим его и найдем значения SD.

\[SD = \frac{{-6 \pm \sqrt{{6^2 - 4 \cdot 2 \cdot -55}}}}{4}\]
\[SD = \frac{{-6 \pm \sqrt{{36 + 440}}}}{4}\]
\[SD = \frac{{-6 \pm \sqrt{{476}}}}{4}\]

Так как длина стороны не может быть отрицательной, отбрасываем решение, где SD отрицательно.

\[SD = \frac{{-6 + \sqrt{{476}}}}{4}\]
\[SD \approx 3.185\]

2) Чтобы рассчитать площадь треугольника, у которого стороны образуют арифметическую прогрессию с разностью d = 2, нам необходимо знать длину стороны.

Обозначим стороны треугольника как a, a + d и a + 2d.
По данному условию известно, что произведение радиусов вписанной и описанной окружностей равно 130. Мы можем использовать формулу площади треугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей.

Площадь треугольника можно найти по формуле:
\[S = \frac{{abc}}{{4R}}\]
где a, b и c - стороны треугольника, R - радиус описанной окружности.

В нашем случае:
\[a = a, b = a + d, c = a + 2d\]
Произведение радиусов вписанной и описанной окружностей равно 130, значит:
\[130 = \frac{{(a)(a + d)(a + 2d)}}{{4R}}\]
\[520R = (a)(a + d)(a + 2d)\]
\[520R = (a^2 + ad)(a + 2d)\]
\[520R = a^3 + 3a^2d + 2ad^2\]
\[520R = a(a^2 + 3ad + 2d^2)\]

У нас нет значений для a и R, поэтому мы не можем точно решить это уравнение и найти площадь треугольника. В данном случае, нам нужны дополнительные данные, чтобы решить эту задачу.

3) Чтобы найти площадь круга с описанным вокруг него прямоугольным треугольником, нам понадобится некоторая geomakhematic информация. Здесь необходимо знать, что радиус описанной окружности равен половине гипотенузы прямоугольного треугольника.

У нас есть прямоугольный треугольник со сторонами 6 и 2. Один из острых углов равен 60°. Через треугольник проведем медиану к гипотенузе и разделим треугольник на два равных подобных треугольника. Медиана в прямоугольном треугольнике является половиной гипотенузы, а также является радиусом описанной окружности.

Мы можем использовать формулу площади круга:
\[S = \pi \cdot r^2\]
где r - радиус круга.

Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.
\[r = \frac{{AC}}{2} = \frac{6}{2} = 3\]

Теперь, мы можем найти площадь круга.
\[S = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi\]
Округлим ответ до десятых.
\[S \approx 28.3\]

4) Для нахождения длины третьей стороны треугольника ABC, мы можем использовать теорему косинусов. Дана длина сторон AB = 7 и AC = 20.

Теорема косинусов гласит:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]
где c - длина третьей стороны, a и b - длины известных сторон, C - угол между известными сторонами.

В нашем случае, a = 7, b = 20 и C - нам неизвестно.
Давайте найдем угол C с помощью теоремы косинусов.
\[20^2 = 7^2 + c^2 - 2 \cdot 7 \cdot c \cdot \cos(C)\]
\[400 = 49 + c^2 - 14c \cdot \cos(C)\]
\[c^2 - 14c \cdot \cos(C) - 351 = 0\]

Теперь, давайте найдем угол C с помощью теоремы косинусов и используем известные значения a = 7, b = 20 и c.
\[7^2 = 20^2 + c^2 - 2 \cdot 20 \cdot c \cdot \cos(C)\]
\[49 = 400 + c^2 - 40c \cdot \cos(C)\]
\[c^2 - 40c \cdot \cos(C) - 351 = 0\]
c и C. Полученное уравнение квадратное, так что мы можем решить его, найдя значения

\[c = \frac{{40 \cdot \cos(C) \pm \sqrt{{(40 \cdot \cos(C))^2 - 4 \cdot 1 \cdot -351}}}}{2}\]
\[c = \frac{{40 \cdot \cos(C) \pm \sqrt{{1600 \cdot \cos^2(C) + 1404}}}}{2}\]

У нас нет конкретного значения для угла C, поэтому мы не можем решить это уравнение и найти длину третьей стороны треугольника ABC без дополнительных данных.