1. Когда наступило последующее противостояние Марса после его происхождения 7 ноября 2005 года, если период обращения

Хорошо! Давайте решим задачи по очереди.

1. Для решения первой задачи, нам дано, что период обращения Марса вокруг Солнца составляет 686 суток. Мы хотим найти дату наступления последующего противостояния Марса после его происхождения 7 ноября 2005 года.

Первым делом, мы знаем, что противостояние происходит, когда Марс, Земля и Солнце выстраиваются в одну линию. Периодичность противостояний составляет примерно 2 лета. Таким образом, мы можем найти количество противостояний, прошедших после 7 ноября 2005 года, путем деления временного промежутка между 7 ноября 2005 года и текущей датой на период одного противостояния.

Сейчас мы находимся в 2022 году, поэтому временной промежуток составляет 2022 - 2005 = 17 лет.

Количество противостояний = (17 лет) / (2 года) = 8.5 противостояний.

Так как полное число противостояний должно быть целым числом, мы округляем в большую сторону до 9 противостояний.

Теперь, чтобы найти дату наступления последующего противостояния Марса, нам нужно умножить количество противостояний на период обращения Марса:
\begin{align*}
Дней\,с\,7\,ноября\,2005\,года\,до\,последующего\,противостояния \\= 9 \,противостояний \times 686 \,дней\, (период\,обращения\,Марса) \\= 6174 \,дней.
\end{align*}

Теперь нам нужно найти дату, добавив 6174 дня к 7 ноября 2005 года. Давайте сделаем это.

7 ноября 2005 года + 6174 дня = 6 сентября 2022 года.

Таким образом, последующее противостояние Марса после его происхождения 7 ноября 2005 года наступит 6 сентября 2022 года.

2. Теперь перейдем ко второй задаче. Мы знаем, что орбитальная большая полуось Атласа вокруг Сатурна равна 137 000 км. Мы хотим найти период обращения Атласа вокруг Сатурна.

Для нахождения периода обращения Атласа вокруг Сатурна, мы можем использовать закон Кеплера, который гласит, что квадрат периода обращения планеты равен кубу полуоси ее орбиты.

Таким образом, мы можем использовать следующую формулу:

\[
T^2 = k \times a^3,
\]

где \(T\) - период обращения (в сутках), \(k\) - постоянная, \(a\) - орбитальная большая полуось планеты (в километрах).

Мы знаем, что период обращения Атласа вокруг Сатурна - это то, что мы и хотим найти, пусть он будет обозначен как \(T_1\), и орбитальная большая полуось Атласа равна 137 000 км, пусть она будет обозначена как \(a_1\).

Мы также знаем, что у Сатурна \(T_2 = 29.5\) года и \(a_2 = 1.429 \times 10^6\) км.

Теперь мы можем сформулировать следующее уравнение:

\[
{T_1}^2 = k \times {a_1}^3
\]

и

\[
{T_2}^2 = k \times {a_2}^3.
\]

Мы можем подставить известные значения и найти \(k\):

\[
(29.5\, \text{года})^2 = k \times (1.429 \times 10^6\, \text{км})^3.
\]

Теперь мы можем найти \(T_1\):

\[
{T_1}^2 = k \times {a_1}^3.
\]

Я немного схитрил и просто посчитал \(k\) \[ k \approx \frac{(29.5\, \text{года})^2}{{(1.429 \times 10^6\, \text{км})^3}} \approx 0.052. \]

Теперь мы можем найти \(T_1\):

\[
{T_1}^2 = 0.052 \times {137000}^3.
\]

Возведение этой формулы в квадрат даст нам значение \(T_1^2\). Возведите ее в квадрат, и вы получите значение \(T_1\).