1) Когда мы говорим о «потуше(н,нн)ом пожаре» или «песча(н,нн)ом пляже», как выбирается написание НН ? В каких условиях

Давайте рассмотрим каждую задачу по отдельности и обсудим условия, определяющие правильное использование двух букв "НН".

1) При выборе написания "НН" в словах, таких как "потушенный пожар" или "песчанный пляж", существуют следующие правила:
- Если корень слова оканчивается на "н", то вариант с двумя "Н" является правильным. Например, пожар, пляж.
- Если в корне слова перед "н" стоит гласная буква, то используется одна "Н". Например, веру, овощу.

2) Чтобы определить, нужно ли использовать "НН" в словах "замороженные овощи" или "гостиная комната", следует учитывать следующие правила:
- Если корень слова оканчивается на "ж" и перед этой буквой стоит гласная, то используется одна "Н". Например, овощ, комнат.
- Если перед "ж" стоит согласная, то необходимо использовать две "Н". Например, заморозить.

3) Для определения написания "н" или "нн" в словах "искренне верил" или "отваренные овощи" существуют следующие правила:
- Если в корне слова перед "н" стоит согласная буква, то вариант с двумя "Н" является правильным. Например, искренный, отварить.
- Если перед "н" стоит гласная, то используется одна "Н". Например, верить, овощи.

4) Чтобы определить, нужно ли использовать одну "Н" или две "Н" в словах "истинная правда" или "петушиные бои", следует учитывать следующие правила:
- Если корень слова оканчивается на "т" и перед этой буквой стоит согласная, то необходимо использовать две "Н". Например, петуш, истина.
- Если перед "т" стоит гласная, то вариант с одной "Н" является правильным. Например, правда.

Надеюсь, эти правила помогут вам выбрать правильное написание слов с буквой "Н". Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.