1) Картошкины и Газеткин 2) Вязалкина и Топоров 3) Столяров и Печников 4) Топоров и Печников

Данные задачи очень интересны, и я с удовольствием помогу вам решить их.

1) Картошкины и Газеткин
Вероятность того, что Картошкины и Газеткин будут в одной команде, можно вычислить, разделив количество благоприятных исходов на общее количество возможных исходов.

Пусть в классе 25 учеников, и из них 12 учеников выбираются в команду. Количество комбинаций выбора 12 учеников из 25 можно вычислить с помощью формулы сочетаний:
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]
где \(n\) - общее количество учеников в классе, \(k\) - количество учеников, выбирающихся в команду.

Теперь нам нужно найти количество благоприятных исходов, то есть случаи, когда и Картошкины, и Газеткин выбираются в команду. Предположим, что Картошкины и Газеткин могут быть выбраны только вместе, то есть они либо оба в команде, либо оба не в команде.

Если Картошкины и Газеткин оба выбираются в команду, то остается выбрать остальных 10 учеников из оставшихся 23. Количество комбинаций такого выбора можно вычислить по формуле сочетаний:
\[\binom{23}{10} = \frac{23!}{10!(23-10)!}\]

Если Картошкины и Газеткин оба не выбираются в команду, то нужно выбрать 12 учеников из оставшихся 23 (исключив Картошкиных и Газеткина). Количество комбинаций такого выбора можно вычислить также по формуле сочетаний:
\[\binom{23}{12} = \frac{23!}{12!(23-12)!}\]

Таким образом, общее количество благоприятных исходов будет равно сумме количества комбинаций выбора 10 учеников из 23 и 12 учеников из 23:
\[\binom{23}{10} + \binom{23}{12} = \frac{23!}{10!(23-10)!} + \frac{23!}{12!(23-12)!}\]

Итак, вероятность того, что Картошкины и Газеткин будут в одной команде, равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству исходов:
\[P = \frac{\binom{23}{10} + \binom{23}{12}}{\binom{25}{12}} = \frac{\frac{23!}{10!(23-10)!} + \frac{23!}{12!(23-12)!}}{\frac{25!}{12!(25-12)!}}\]

2) Вязалкина и Топоров
Аналогично первой задаче, мы можем использовать формулу сочетаний для вычисления количества комбинаций выбора 12 учеников из 25:
\[\binom{25}{12} = \frac{25!}{12!(25-12)!}\]

Также, чтобы найти количество благоприятных исходов, когда и Вязалкина, и Топоров находятся в одной команде, можно сделать предположение, что они могут быть выбраны только вместе.

Если Вязалкина и Топоров оба выбираются в команду, остается выбрать остальных 10 учеников из оставшихся 23. Количество комбинаций такого выбора вычисляется по формуле сочетаний:
\[\binom{23}{10} = \frac{23!}{10!(23-10)!}\]

Таким образом, вероятность того, что Вязалкина и Топоров будут в одной команде, равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству исходов:
\[P = \frac{\binom{23}{10}}{\binom{25}{12}} = \frac{\frac{23!}{10!(23-10)!}}{\frac{25!}{12!(25-12)!}}\]

3) Столяров и Печников
Процедура решения похожа на предыдущие задачи. Используем формулу сочетаний для вычисления количества комбинаций выбора 12 учеников из 25:
\[\binom{25}{12}\]

Далее, предположим, что Столяров и Печников могут быть выбраны только вместе. Если они оба выбираются в команду, остается выбрать остальных 10 учеников из оставшихся 23:
\[\binom{23}{10}\]

Таким образом, вероятность того, что Столяров и Печников будут в одной команде, равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству исходов:
\[P = \frac{\binom{23}{10}}{\binom{25}{12}}\]

4) Топоров и Печников
Аналогично предыдущим задачам, мы можем использовать формулу сочетаний для вычисления количества комбинаций выбора 12 учеников из 25:
\[\binom{25}{12}\]

Далее, предположим, что Топоров и Печников могут быть выбраны только вместе. Если они оба выбираются в команду, остается выбрать остальных 10 учеников из оставшихся 23:
\[\binom{23}{10}\]

Таким образом, вероятность того, что Топоров и Печников будут в одной команде, равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству исходов:
\[P = \frac{\binom{23}{10}}{\binom{25}{12}}\]