1) Какую должна иметь погибель (число умерших особей) кошачьей акулы до достижения половой зрелости, чтобы популяция

1) Чтобы популяция кошачьих акул оставалась постоянной, мы должны учесть, что самка кошачьей акулы производит 20 яиц. Однако, не все эти яйца достигают половой зрелости, поэтому нам нужно рассчитать, сколько должно погибнуть особей, чтобы количество выживших достигло уровня необходимого для поддержания стабильной популяции.

Предположим, что кошачья акула достигает половой зрелости после 3 лет. За это время она может произвести 20 яиц каждый год. Таким образом, общее количество яиц, которые бы могли быть произведены за 3 года, равно \(20 \times 3 = 60\) яиц.

Однако, не все произведенные яйца будут выживать до половой зрелости. Предположим, что выживает только каждая пятая особь (т.е. 1 из 5). Тогда количество погибших особей при производстве 60 яиц будет равно

\[
60 - \left(\frac{60}{5}\right) = 60 - 12 = 48
\]

Таким образом, чтобы популяция кошачьих акул оставалась постоянной, должно погибнуть 48 особей до достижения половой зрелости.

2) Чтобы рассчитать, во сколько раз увеличится численность дизентерийных амёб через 18 часов, мы должны знать, сколько организмов у нас в начале и через какое время они начинают делиться пополам.

По условию, организмы делятся пополам каждые 2 часа. Значит, через 18 часов они будут делится на \(2^{18/2} = 2^9\) раз. Здесь мы делим 18 на 2, чтобы найти количество периодов деления на 2 часа. В результате мы получаем:

\[
2^9 = 512
\]

Таким образом, численность одноклеточных организмов дизентерийной амёбы увеличится в 512 раз через 18 часов, если они делятся пополам каждые 2 часа.

3) Чтобы рассчитать общую численность потомства синей мясной мухи к концу лета, мы должны знать, сколько яиц она кладет и какая часть отложенных яиц выращивается в самок.

По условию, мясная муха кладет 200 яиц, а половина отложенных яиц выращивается в самок. Значит, каждое следующее поколение мух будет в два раза больше предыдущего. Мы можем рассчитать общую численность потомства следующим образом:

\[
200 + 200 \times \frac{1}{2} + 200 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \ldots + 200 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n
\]

, где \(n\) - количество поколений отложенных яиц, которые выжили и выросли в самок до конца лета.

Учитывая, что каждое последующее поколение в два раза меньше предыдущего, мы можем использовать формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

\[
S = \frac{a}{1 - r}
\]

где \(S\) - сумма прогрессии (в данном случае общая численность потомства), \(a\) - первый элемент прогрессии (200 яиц), \(r\) - знаменатель прогрессии (0.5, т.к. каждое последующее поколение в два раза меньше предыдущего).

Если заменить значения в формуле, мы получим:

\[
S = \frac{200}{1 - 0.5} = \frac{200}{0.5} = 400
\]

Таким образом, общая численность потомства одной синей мясной мухи к концу лета составит 400 особей.