1. Какую дистанцию пройдет материальная точка за первые 2 секунды движения, если зависимость ее линейной скорости

1. Для решения данной задачи нам дано уравнение зависимости линейной скорости материальной точки от времени $v=a{t}^2+yt$, где $a=5{\text{м/с}}^3$ и $y=3{\text{м/с}}^2$. Чтобы найти дистанцию, пройденную точкой за первые 2 секунды движения, нам необходимо интегрировать уравнение скорости по времени.

Изначально у нас дано уравнение зависимости скорости $v$ от времени $t$. Для нахождения расстояния, пройденного точкой, нам необходимо найти функцию зависимости координаты от времени $x(t)$.

Но прежде чем интегрировать уравнение, заметим, что у нас есть два члена в уравнении скорости: $a{t}^2$ и $yt$. Помним, что при интегрировании каждый член с $t$ будет увеличиваться на 1 степень. Таким образом, после интегрирования у нас будет $a{t}^3/3$ и $y{t}^2/2$.

Теперь, чтобы найти функцию зависимости координаты от времени $x(t)$, мы интегрируем уравнение скорости. В данном случае, так как в уравнении скорости представлены только два члена, интеграл будет равен сумме интегралов от каждого члена:

$$x(t)=\int (a{t}^2+yt)dt$$
$$x(t)=\int a{t}^{2}dt+\int ytdt$$

Интегрируя каждый член по отдельности, получим:

$$\int a{t}^{2}dt=\frac{a}{3}{t}^3+C_1$$

$$\int ytdt=\frac{y}{2}{t}^2+C_2$$

Здесь $C_1$ и $C_2$ - константы интегрирования, которые появляются в результате интегрирования.

Теперь, объединим оба полученных члена и добавим константы интегрирования:

$$x(t)=\frac{a}{3}{t}^3+\frac{y}{2}{t}^2+C_1+C_2$$

Теперь, если мы хотим найти дистанцию, пройденную материальной точкой за первые 2 секунды, мы можем подставить в это уравнение $t=2$ и вычислить полученное значение:

$$x(2)=\frac{a}{3}(2{)}^3+\frac{y}{2}(2{)}^2+C_1+C_2$$

$$x(2)=\frac{a}{3}\cdot 8+\frac{y}{2}\cdot 4+C_1+C_2$$

Таким образом, наш ответ будет зависеть от значений констант интегрирования $C_1$ и $C_2$, которые мы не знаем. Если бы у нас были дополнительные условия, значения этих констант могли бы быть найдены. Однако, поскольку у нас этих условий нет, мы не можем найти точное значение дистанции, пройденной в первые 2 секунды движения материальной точки.

2. В задаче у нас есть зависимость скорости материальной точки от времени $v(t)=ati+b{t}^{2}j$, где $a=2{\text{м/с}}^2$ и $b=1{\text{м/с}}^3$.

а) Чтобы найти модуль скорости точки в момент времени $t=2\text{сек}$, нам необходимо рассмотреть значение скорости в этот момент времени и вычислить его модуль.

Мы знаем, что скорость - это векторная величина, которая имеет направление и величину. Чтобы найти модуль скорости точки в момент времени $t=2\text{сек}$, нужно вычислить длину этого вектора скорости.

Подставляем $t=2$ в уравнение скорости:

$v(2)=(a\cdot 2)i+(b\cdot 2^2)j$

$v(2)=2ai+4bj$

Мы можем найти модуль скорости, применяя теорему Пифагора к компонентам вектора скорости:

$|v(2)|=\sqrt{(2a{)}^2+(4b{)}^2}$

$|v(2)|=\sqrt{4a^2+16b^2}$

$|v(2)|=\sqrt{4\cdot (2{)}^2+16\cdot (1{)}^2}$

$|v(2)|=\sqrt{4\cdot 4+16}$

$|v(2)|=\sqrt{32}$

$|v(2)|=\sqrt{16\cdot 2}$

$|v(2)|=4\sqrt{2}$

Таким образом, модуль скорости точки в момент времени $t=2\text{сек}$ равен $4\sqrt{2}\text{м/с}$.

б) Чтобы найти перемещение точки за первые 2 секунды движения, мы должны найти интеграл вектора скорости от $t=0$ до $t=2$.

Первым шагом мы интегрируем каждую компоненту вектора скорости $ati$ и $b{t}^{2}j$ по отдельности:

${\int }_0^{2}atidt={\int }_0^{2}a\cdot t\cdot idt=\frac{a}{2}\cdot t^2\cdot i{|}_0^2=\frac{a}{2}\cdot (2{)}^2\cdot i-\frac{a}{2}\cdot (0{)}^2\cdot i=2a\cdot i$

${\int }_0^{2}b{t}^{2}jdt={\int }_0^{2}b\cdot t^2\cdot jdt=\frac{b}{3}\cdot t^3\cdot j{|}_0^2=\frac{b}{3}\cdot (2{)}^3\cdot j-\frac{b}{3}\cdot (0{)}^3\cdot j=\frac{8b}{3}\cdot j$

Теперь, объединим обе интегралы:

${\int }_0^{2}v(t)dt=2a\cdot i+\frac{8b}{3}\cdot j$

Таким образом, перемещение точки за первые 2 секунды движения равно $2a\cdot i+\frac{8b}{3}\cdot j$.

3. В данной задаче нам дано, что ускорение материальной точки линейно увеличивается и достигает значения $5{\text{м/с}}^2$ за первые 10 секунд.

а) Чтобы найти скорость точки в конце десятой секунды, мы должны найти интеграл ускорения по времени от $t=0$ до $t=10$:

${\int }_0^{10}a(t)dt={\int }_0^{10}5dt=5t{|}_0^{10}=5\cdot 10-5\cdot 0=50\text{м/с}$

Таким образом, скорость точки в конце десятой секунды равна $50\text{м/с}$.

б) Чтобы найти пройденное расстояние, мы можем использовать формулу пути, зависящую от начальной скорости, ускорения и времени:

$s=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$

Так как начальная скорость равна нулю (точка начинает движение с покоя), мы упрощаем формулу пути:

$s=\frac{1}{2}a{t}^2$

Подставляем значения из условия:

$s=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot (10{)}^2$

$s=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 100$

$s=\frac{1}{2}\cdot 500$

$s=250\text{м}$

Таким образом, пройденное расстояние в конце десятой секунды равно $250\text{м}$.