1. Какую дистанцию пройдет материальная точка за первые 2 секунды движения, если зависимость ее линейной скорости от времени описывается уравнением v=at^2+yt, где а=5 м/с^3, y=3 м/с^2?
2. Для материальной точки, движущейся со скоростью v(t)=ati+bt^2j, где a=2 м/с^2 и b=1 м/с^3, найдите: а) модуль скорости точки в момент времени t=2 с; б) перемещение точки за первые 2 секунды движения.
3. Материальная точка движется вдоль прямой так, что ее ускорение линейно увеличивается и достигает значения 5 м/с^2 за первые 10 секунд. Определите в конце десятой секунды: а) скорость точки; б) пройденное точкой расстояние.
2. Для материальной точки, движущейся со скоростью v(t)=ati+bt^2j, где a=2 м/с^2 и b=1 м/с^3, найдите: а) модуль скорости точки в момент времени t=2 с; б) перемещение точки за первые 2 секунды движения.
3. Материальная точка движется вдоль прямой так, что ее ускорение линейно увеличивается и достигает значения 5 м/с^2 за первые 10 секунд. Определите в конце десятой секунды: а) скорость точки; б) пройденное точкой расстояние.
Ангелина
1. Для решения данной задачи нам дано уравнение зависимости линейной скорости материальной точки от времени \(v=at^2+yt\), где \(a=5 \, \text{м/с}^3\) и \(y=3 \, \text{м/с}^2\). Чтобы найти дистанцию, пройденную точкой за первые 2 секунды движения, нам необходимо интегрировать уравнение скорости по времени.
Изначально у нас дано уравнение зависимости скорости \(v\) от времени \(t\). Для нахождения расстояния, пройденного точкой, нам необходимо найти функцию зависимости координаты от времени \(x(t)\).
Но прежде чем интегрировать уравнение, заметим, что у нас есть два члена в уравнении скорости: \(at^2\) и \(yt\). Помним, что при интегрировании каждый член с \(t\) будет увеличиваться на 1 степень. Таким образом, после интегрирования у нас будет \(at^3/3\) и \(yt^2/2\).
Теперь, чтобы найти функцию зависимости координаты от времени \(x(t)\), мы интегрируем уравнение скорости. В данном случае, так как в уравнении скорости представлены только два члена, интеграл будет равен сумме интегралов от каждого члена:
\[x(t) = \int (at^2+yt) \, dt\]
\[x(t) = \int at^2 \, dt + \int yt \, dt\]
Интегрируя каждый член по отдельности, получим:
\[\int at^2 \, dt = \frac{a}{3}t^3 + C_1\]
\[\int yt \, dt = \frac{y}{2}t^2 + C_2\]
Здесь \(C_1\) и \(C_2\) - константы интегрирования, которые появляются в результате интегрирования.
Теперь, объединим оба полученных члена и добавим константы интегрирования:
\[x(t) = \frac{a}{3}t^3 + \frac{y}{2}t^2 + C_1 + C_2\]
Теперь, если мы хотим найти дистанцию, пройденную материальной точкой за первые 2 секунды, мы можем подставить в это уравнение \(t=2\) и вычислить полученное значение:
\[x(2) = \frac{a}{3}(2)^3 + \frac{y}{2}(2)^2 + C_1 + C_2\]
\[x(2) = \frac{a}{3} \cdot 8 + \frac{y}{2} \cdot 4 + C_1 + C_2\]
Таким образом, наш ответ будет зависеть от значений констант интегрирования \(C_1\) и \(C_2\), которые мы не знаем. Если бы у нас были дополнительные условия, значения этих констант могли бы быть найдены. Однако, поскольку у нас этих условий нет, мы не можем найти точное значение дистанции, пройденной в первые 2 секунды движения материальной точки.
2. В задаче у нас есть зависимость скорости материальной точки от времени \(v(t)=ati+bt^2j\), где \(a=2 \, \text{м/с}^2\) и \(b=1 \, \text{м/с}^3\).
а) Чтобы найти модуль скорости точки в момент времени \(t=2 \, \text{сек}\), нам необходимо рассмотреть значение скорости в этот момент времени и вычислить его модуль.
Мы знаем, что скорость - это векторная величина, которая имеет направление и величину. Чтобы найти модуль скорости точки в момент времени \(t=2 \, \text{сек}\), нужно вычислить длину этого вектора скорости.
Подставляем \(t=2\) в уравнение скорости:
\(v(2) = (a \cdot 2)i + (b \cdot 2^2)j\)
\(v(2) = 2ai + 4bj\)
Мы можем найти модуль скорости, применяя теорему Пифагора к компонентам вектора скорости:
\(|v(2)| = \sqrt{(2a)^2 + (4b)^2}\)
\(|v(2)| = \sqrt{4a^2 + 16b^2}\)
\(|v(2)| = \sqrt{4 \cdot (2)^2 + 16 \cdot (1)^2}\)
\(|v(2)| = \sqrt{4 \cdot 4 + 16}\)
\(|v(2)| = \sqrt{32}\)
\(|v(2)| = \sqrt{16 \cdot 2}\)
\(|v(2)| = 4 \sqrt{2}\)
Таким образом, модуль скорости точки в момент времени \(t=2 \, \text{сек}\) равен \(4 \sqrt{2} \, \text{м/с}\).
б) Чтобы найти перемещение точки за первые 2 секунды движения, мы должны найти интеграл вектора скорости от \(t=0\) до \(t=2\).
Первым шагом мы интегрируем каждую компоненту вектора скорости \(ati\) и \(bt^2j\) по отдельности:
\(\int_0^2 ati \, dt = \int_0^2 a \cdot t \cdot i \, dt = \frac{a}{2} \cdot t^2 \cdot i \Big|_0^2 = \frac{a}{2} \cdot (2)^2 \cdot i - \frac{a}{2} \cdot (0)^2 \cdot i = 2a \cdot i\)
\(\int_0^2 bt^2j \, dt = \int_0^2 b \cdot t^2 \cdot j \, dt = \frac{b}{3} \cdot t^3 \cdot j \Big|_0^2 = \frac{b}{3} \cdot (2)^3 \cdot j - \frac{b}{3} \cdot (0)^3 \cdot j = \frac{8b}{3} \cdot j\)
Теперь, объединим обе интегралы:
\(\int_0^2 v(t) \, dt = 2a \cdot i + \frac{8b}{3} \cdot j\)
Таким образом, перемещение точки за первые 2 секунды движения равно \(2a \cdot i + \frac{8b}{3} \cdot j\).
3. В данной задаче нам дано, что ускорение материальной точки линейно увеличивается и достигает значения \(5 \, \text{м/с}^2\) за первые 10 секунд.
а) Чтобы найти скорость точки в конце десятой секунды, мы должны найти интеграл ускорения по времени от \(t=0\) до \(t=10\):
\(\int_0^{10} a(t) \, dt = \int_0^{10} 5 \, dt = 5t \Big|_0^{10} = 5 \cdot 10 - 5 \cdot 0 = 50 \, \text{м/с}\)
Таким образом, скорость точки в конце десятой секунды равна \(50 \, \text{м/с}\).
б) Чтобы найти пройденное расстояние, мы можем использовать формулу пути, зависящую от начальной скорости, ускорения и времени:
\(s = v_0t + \frac{1}{2}at^2\)
Так как начальная скорость равна нулю (точка начинает движение с покоя), мы упрощаем формулу пути:
\(s = \frac{1}{2}at^2\)
Подставляем значения из условия:
\(s = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (10)^2\)
\(s = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 100\)
\(s = \frac{1}{2} \cdot 500\)
\(s = 250 \, \text{м}\)
Таким образом, пройденное расстояние в конце десятой секунды равно \(250 \, \text{м}\).
Изначально у нас дано уравнение зависимости скорости \(v\) от времени \(t\). Для нахождения расстояния, пройденного точкой, нам необходимо найти функцию зависимости координаты от времени \(x(t)\).
Но прежде чем интегрировать уравнение, заметим, что у нас есть два члена в уравнении скорости: \(at^2\) и \(yt\). Помним, что при интегрировании каждый член с \(t\) будет увеличиваться на 1 степень. Таким образом, после интегрирования у нас будет \(at^3/3\) и \(yt^2/2\).
Теперь, чтобы найти функцию зависимости координаты от времени \(x(t)\), мы интегрируем уравнение скорости. В данном случае, так как в уравнении скорости представлены только два члена, интеграл будет равен сумме интегралов от каждого члена:
\[x(t) = \int (at^2+yt) \, dt\]
\[x(t) = \int at^2 \, dt + \int yt \, dt\]
Интегрируя каждый член по отдельности, получим:
\[\int at^2 \, dt = \frac{a}{3}t^3 + C_1\]
\[\int yt \, dt = \frac{y}{2}t^2 + C_2\]
Здесь \(C_1\) и \(C_2\) - константы интегрирования, которые появляются в результате интегрирования.
Теперь, объединим оба полученных члена и добавим константы интегрирования:
\[x(t) = \frac{a}{3}t^3 + \frac{y}{2}t^2 + C_1 + C_2\]
Теперь, если мы хотим найти дистанцию, пройденную материальной точкой за первые 2 секунды, мы можем подставить в это уравнение \(t=2\) и вычислить полученное значение:
\[x(2) = \frac{a}{3}(2)^3 + \frac{y}{2}(2)^2 + C_1 + C_2\]
\[x(2) = \frac{a}{3} \cdot 8 + \frac{y}{2} \cdot 4 + C_1 + C_2\]
Таким образом, наш ответ будет зависеть от значений констант интегрирования \(C_1\) и \(C_2\), которые мы не знаем. Если бы у нас были дополнительные условия, значения этих констант могли бы быть найдены. Однако, поскольку у нас этих условий нет, мы не можем найти точное значение дистанции, пройденной в первые 2 секунды движения материальной точки.
2. В задаче у нас есть зависимость скорости материальной точки от времени \(v(t)=ati+bt^2j\), где \(a=2 \, \text{м/с}^2\) и \(b=1 \, \text{м/с}^3\).
а) Чтобы найти модуль скорости точки в момент времени \(t=2 \, \text{сек}\), нам необходимо рассмотреть значение скорости в этот момент времени и вычислить его модуль.
Мы знаем, что скорость - это векторная величина, которая имеет направление и величину. Чтобы найти модуль скорости точки в момент времени \(t=2 \, \text{сек}\), нужно вычислить длину этого вектора скорости.
Подставляем \(t=2\) в уравнение скорости:
\(v(2) = (a \cdot 2)i + (b \cdot 2^2)j\)
\(v(2) = 2ai + 4bj\)
Мы можем найти модуль скорости, применяя теорему Пифагора к компонентам вектора скорости:
\(|v(2)| = \sqrt{(2a)^2 + (4b)^2}\)
\(|v(2)| = \sqrt{4a^2 + 16b^2}\)
\(|v(2)| = \sqrt{4 \cdot (2)^2 + 16 \cdot (1)^2}\)
\(|v(2)| = \sqrt{4 \cdot 4 + 16}\)
\(|v(2)| = \sqrt{32}\)
\(|v(2)| = \sqrt{16 \cdot 2}\)
\(|v(2)| = 4 \sqrt{2}\)
Таким образом, модуль скорости точки в момент времени \(t=2 \, \text{сек}\) равен \(4 \sqrt{2} \, \text{м/с}\).
б) Чтобы найти перемещение точки за первые 2 секунды движения, мы должны найти интеграл вектора скорости от \(t=0\) до \(t=2\).
Первым шагом мы интегрируем каждую компоненту вектора скорости \(ati\) и \(bt^2j\) по отдельности:
\(\int_0^2 ati \, dt = \int_0^2 a \cdot t \cdot i \, dt = \frac{a}{2} \cdot t^2 \cdot i \Big|_0^2 = \frac{a}{2} \cdot (2)^2 \cdot i - \frac{a}{2} \cdot (0)^2 \cdot i = 2a \cdot i\)
\(\int_0^2 bt^2j \, dt = \int_0^2 b \cdot t^2 \cdot j \, dt = \frac{b}{3} \cdot t^3 \cdot j \Big|_0^2 = \frac{b}{3} \cdot (2)^3 \cdot j - \frac{b}{3} \cdot (0)^3 \cdot j = \frac{8b}{3} \cdot j\)
Теперь, объединим обе интегралы:
\(\int_0^2 v(t) \, dt = 2a \cdot i + \frac{8b}{3} \cdot j\)
Таким образом, перемещение точки за первые 2 секунды движения равно \(2a \cdot i + \frac{8b}{3} \cdot j\).
3. В данной задаче нам дано, что ускорение материальной точки линейно увеличивается и достигает значения \(5 \, \text{м/с}^2\) за первые 10 секунд.
а) Чтобы найти скорость точки в конце десятой секунды, мы должны найти интеграл ускорения по времени от \(t=0\) до \(t=10\):
\(\int_0^{10} a(t) \, dt = \int_0^{10} 5 \, dt = 5t \Big|_0^{10} = 5 \cdot 10 - 5 \cdot 0 = 50 \, \text{м/с}\)
Таким образом, скорость точки в конце десятой секунды равна \(50 \, \text{м/с}\).
б) Чтобы найти пройденное расстояние, мы можем использовать формулу пути, зависящую от начальной скорости, ускорения и времени:
\(s = v_0t + \frac{1}{2}at^2\)
Так как начальная скорость равна нулю (точка начинает движение с покоя), мы упрощаем формулу пути:
\(s = \frac{1}{2}at^2\)
Подставляем значения из условия:
\(s = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (10)^2\)
\(s = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 100\)
\(s = \frac{1}{2} \cdot 500\)
\(s = 250 \, \text{м}\)
Таким образом, пройденное расстояние в конце десятой секунды равно \(250 \, \text{м}\).
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
