1. Какой радиус сферы касается плоскости равностороннего треугольника с высотой 12 см в его центре, при расстоянии

Рассмотрим данную задачу более подробно.

В задаче дан равносторонний треугольник со стороной 12 см и его высота, проведенная из центра треугольника, равняется 12 см.

Задача состоит в определении радиуса сферы, которая касается плоскости этого треугольника и имеет расстояние 5 см от центра до одной из сторон треугольника.

Для решения этой задачи мы можем использовать геометрические свойства равностороннего треугольника.

Заметим, что в равностороннем треугольнике высота, проведенная из центра, является медианой и биссектрисой одновременно. В результате получаем, что эта высота делит сам треугольник на два равнобедренных треугольника.

Теперь рассмотрим один из таких треугольников. Проведем биссектрису одного из углов и соединим конец этой биссектрисы с вершиной треугольника.

Таким образом, мы получим прямоугольный треугольник, в котором один катет равен половине основания равностороннего треугольника, а гипотенуза равна изначальной высоте треугольника, равной 12 см.

Расстояние от центра равностороннего треугольника до ближайшей стороны треугольника, которое составляет 5 см, представляет собой второй катет этого прямоугольного треугольника.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения гипотенузы прямоугольного треугольника:

\[
гипотенуза^2 = катет^2 + катет^2
\]

\[
гипотенуза^2 = (сторона/2)^2 + расстояние^2
\]

\[
гипотенуза^2 = (12/2)^2 + 5^2
\]

\[
гипотенуза^2 = 6^2 + 25
\]

\[
гипотенуза^2 = 36 + 25
\]

\[
гипотенуза^2 = 61
\]

Таким образом, гипотенуза равна \(\sqrt{61}\).

Так как радиус сферы касается центральной плоскости равностороннего треугольника, мы можем заметить, что радиус сферы будет равен гипотенузе этих прямоугольных треугольников, то есть \(\sqrt{61}\) см.

Ответ: радиус сферы, касающейся плоскости равностороннего треугольника с высотой 12 см в его центре и имеющей расстояние 5 см от центра до стороны треугольника, равен \(\sqrt{61}\) см.