1. Каковы длина отрезка AB и координаты его середины, если известно, что точка A имеет координаты (-3, 2), а точка

1. Для нахождения длины отрезка AB и его середины мы можем использовать формулы расстояния и координат середины между двумя точками.

- Расстояние между двумя точками в двумерном пространстве можно найти по формуле:
\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2}\]

где (x₁, y₁) - координаты точки A, а (x₂, y₂) - координаты точки B.

Подставляя значения координат A(-3, 2) и B(-5, 1) в формулу, получаем:
\[d = \sqrt{{(-5 - (-3))}^2 + {(1 - 2)}^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\]

Таким образом, длина отрезка AB составляет \(\sqrt{5}\).

- Координаты середины отрезка AB можно найти по формуле:
\[x_m = \frac{{x_1 + x_2}}{2}\]
\[y_m = \frac{{y_1 + y_2}}{2}\]

Подставляя значения координат A(-3, 2) и B(-5, 1) в формулы, получаем:
\[x_m = \frac{{-3 + (-5)}}{2} = -4\]
\[y_m = \frac{{2 + 1}}{2} = \frac{3}{2}\]

Таким образом, координаты середины отрезка AB равны (-4, 3/2).

2. Чтобы составить уравнение окружности с заданным центром и проходящей через точку К, нам нужно использовать формулу окружности в общем виде:
\[(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\]

где (h, k) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности.

Подставим значения координат М(1, -3) в формулу, получим:
\[(x - 1)^2 + (y - (-3))^2 = r^2\]

Так как окружность проходит через точку К(-4, 2), то мы можем подставить эти значения в уравнение:
\[(-4 - 1)^2 + (2 - (-3))^2 = r^2\]

Упрощая это уравнение, получаем:
\[25 + 25 = r^2\]
\[50 = r^2\]

Таким образом, уравнение окружности будет выглядеть:
\[(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 50\]

3. Для нахождения координат вершины D параллелограмма ABCD, нам нужно знать свойство параллелограмма, что противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны.

- Сначала найдем координаты точки D, используя свойство равенства противоположных сторон параллелограмма. Это означает, что вектор AB равен вектору DC и вектор AD равен вектору BC.

Вектор AB можно найти, вычислив разность координат точек A и B:
\[\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (-5 - (-2), 1 - 3) = (-3, -2)\]

Затем найдем точку D, добавив вектор AB к координатам точки C (2, 1):
\[D = (x_C + x_{AB}, y_C + y_{AB}) = (2 + (-3), 1 + (-2)) = (-1, -1)\]

Таким образом, координаты вершины D равны (-1, -1).

4. Чтобы найти уравнение прямой, которая проходит через заданные точки, мы можем использовать формулу для уравнения прямой в общем виде:
\[y = mx + c\]

где m - коэффициент наклона прямой, а с - свободный член.

- Расчет коэффициента наклона m:
\[m = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]

Подставим значения координат точек A и B в формулу:
\[m = \frac{{1 - 2}}{{-5 - (-3)}} = \frac{{-1}}{{-2}} = \frac{1}{2}\]

- Расчет свободного члена с:
\[c = y - mx\]

Выберем любую из заданных точек, например, A(-3, 2):
\[c = 2 - \frac{1}{2} \cdot (-3) = 2 + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}\]

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки A и B будет выглядеть:
\[y = \frac{1}{2}x + \frac{7}{2}\]