1. Каково среднее расстояние от Марса до Солнца, если период обращения Марса вокруг Солнца составляет 0,615 лет?

1. Чтобы найти среднее расстояние от Марса до Солнца, мы можем использовать формулу Кеплера, которая связывает период обращения планеты вокруг Солнца и её среднее расстояние от Солнца. Формула имеет вид:

\[T^2 = \frac{4\pi^2}{G(M + m)} a^3\]

где \(T\) - период обращения планеты (в данном случае Марса), \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса Солнца, \(m\) - масса планеты (Марса), \(a\) - среднее расстояние от планеты до Солнца.

Мы можем заметить, что \(M\) и \(G\) остаются неизменными для данной задачи, так что можем переписать формулу следующим образом:

\[T^2 \propto a^3\]

Теперь, чтобы найти среднее расстояние \(a\), нам нужно взять кубический корень от \(T^2\):

\[a = \sqrt[3]{T^2}\]

Давайте подставим значения из условия.

Для Марса \(T = 0.615\) лет.

\[a = \sqrt[3]{(0.615)^2}\]
\[a = \sqrt[3]{0.378225}\]
\[a \approx 0.7093\] а.е. (астрономических единиц).

Таким образом, среднее расстояние от Марса до Солнца составляет примерно 0.7093 а.е.

2. Период обращения \(T\) планеты вокруг Солнца связан с радиусом \(r\) орбиты планеты и расстоянием \(R\) от планеты до Солнца следующей формулой:

\[T = \frac{2\pi r}{v}\]

где \(v\) - скорость движения планеты по орбите.

Для круговой орбиты скорость планеты постоянна и определяется равномерным движением по окружности:

\[v = \frac{2\pi r}{T}\]

Теперь давайте рассмотрим орбиту Земли и Урана. Мы знаем, что расстояние от Урана до Солнца составляет 19.23 раза больше, чем расстояние от Земли до Солнца.

Пусть \(R_{\text{Земли}}\) - расстояние от Земли до Солнца, \(R_{\text{Урана}}\) - расстояние от Урана до Солнца. Тогда:

\[R_{\text{Урана}} = 19.23 \cdot R_{\text{Земли}}\]

Также мы знаем, что период обращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год. Подставим значения в формулу для скорости:

\[v_{\text{Земли}} = \frac{2\pi R_{\text{Земли}}}{T_{\text{Земли}}}\]

Теперь найдем период обращения Урана:

\[T_{\text{Урана}} = \frac{2\pi R_{\text{Урана}}}{v_{\text{Земли}}}\]

Подставим значения и вычислим:

\[T_{\text{Урана}} = \frac{2\pi \cdot 19.23 \cdot R_{\text{Земли}}}{\frac{2\pi R_{\text{Земли}}}{T_{\text{Земли}}}}\]

Упростим выражение:

\[T_{\text{Урана}} = T_{\text{Земли}} \cdot 19.23\]

Таким образом, продолжительность года на Уране будет составлять примерно 19.23 года Земли.

3. Для сравнения системы "Земля-Луна" с системой "Уран-Миранда" мы можем использовать закон Кеплера, который связывает период обращения спутника вокруг планеты, с расстоянием между ними и массой планеты.

Формула для закона Кеплера:

\[\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3} \cdot \frac{M_1 + M_2}{M_1}\]

где \(T_1\) и \(T_2\) - периоды обращения двух планет, \(a_1\) и \(a_2\) - расстояния от планеты до Солнца, \(M_1\) и \(M_2\) - массы планет.

Мы знаем, что период обращения Миранды вокруг Урана составляет 1.41 суток. Расстояние от Миранды до Урана равно 129.4 тыс. км.

Масса Луны и Миранды мала по сравнению с массами Земли и Урана, поэтому мы можем пренебречь их массами и получим:

\[\frac{T_{\text{Земля}}^2}{T_{\text{Уран}}^2} = \frac{a_{\text{Земля}}^3}{a_{\text{Уран}}^3} \cdot \frac{M_{\text{Земля}} + M_{\text{Миранда}}}{M_{\text{Земля}}}\]

То же самое выражение можно использовать в случае системы "Земля-Луна":

\[\frac{T_{\text{Земля}}^2}{T_{\text{Луна}}^2} = \frac{a_{\text{Земля}}^3}{a_{\text{Луна}}^3} \cdot \frac{M_{\text{Земля}} + M_{\text{Луна}}}{M_{\text{Земля}}}\]

Выразим массу Урана в массах Земли:

\[\frac{T_{\text{Земля}}^2}{T_{\text{Луна}}^2} = \frac{a_{\text{Земля}}^3}{a_{\text{Луна}}^3} \cdot \frac{M_{\text{Земля}} + M_{\text{Луна}}}{M_{\text{Земля}}} = \frac{T_{\text{Земля}}^2}{T_{\text{Уран}}^2} = \frac{a_{\text{Земля}}^3}{a_{\text{Уран}}^3} \cdot \frac{M_{\text{Земля}} + M_{\text{Миранда}}}{M_{\text{Земля}}}\]

Отсюда получаем:

\[\frac{a_{\text{Земля}}^3}{a_{\text{Луна}}^3} \cdot \frac{M_{\text{Земля}} + M_{\text{Луна}}}{M_{\text{Земля}}} = \frac{a_{\text{Земля}}^3}{a_{\text{Уран}}^3} \cdot \frac{M_{\text{Земля}} + M_{\text{Миранда}}}{M_{\text{Земля}}}\]

Сократим \(a_{\text{Земля}}^3\) и \(M_{\text{Земля}}\):

\[\frac{M_{\text{Земля}} + M_{\text{Луна}}}{M_{\text{Земля}}} = \frac{M_{\text{Земля}} + M_{\text{Миранда}}}{M_{\text{Земля}}}\]

Отсюда получаем:

\[M_{\text{Луна}} = M_{\text{Миранда}}\]

Таким образом, масса Урана равна массе Миранды в системе "Уран-Миранда" по сравнению с системой "Земля-Луна".