1. Каково будет значение первой космической скорости для планеты, масса которой в 4 раза больше, а радиус в 4 раза

Конечно! Давайте начнем с задачи номер 1.

1. Дано:
Масса планеты, \( m_1 \), в 4 раза больше массы Земли. Последовательно обозначим ее массу как \( m_1 = 4m_{\text{Земли}} \).
Радиус планеты, \( r_1 \), в 4 раза меньше радиуса Земли. Обозначим радиус планеты как \( r_1 = \frac{1}{4}r_{\text{Земли}} \).

Чтобы найти значение первой космической скорости, воспользуемся формулой для космической скорости \( v = \sqrt{\frac{{GM}}{{r}}} \), где \( G \) - гравитационная постоянная, \( M \) - масса планеты, \( r \) - радиус планеты.

Сначала найдем значение массы Земли, \( m_{\text{Земли}} \). Возьмем ее как известное значение, равное \( m_{\text{Земли}} = 5.972 \times 10^{24} \) кг.

Теперь мы можем найти первую космическую скорость планеты:
\[ v_1 = \sqrt{\frac{{G \cdot M_1}}{{r_1}}} \]

Подставим известные значения работы с ними:
\[ v_1 = \sqrt{\frac{{G \cdot (4m_{\text{Земли}})}}{{\frac{1}{4}r_{\text{Земли}}}}} \]

Теперь выразим коэффициенты и приведем формулу к виду:
\[ v_1 = \sqrt{\frac{{16 \cdot G \cdot m_{\text{Земли}}}}{{\frac{1}{16} \cdot r_{\text{Земли}}}}} \]

Упростим формулу:
\[ v_1 = \sqrt{\frac{{16 \cdot G \cdot m_{\text{Земли}}}}{{\frac{r_{\text{Земли}}}{16}}}} \]

Получаем значение первой космической скорости планеты \( v_1 \).

Теперь перейдем ко второй задаче.

2. Дано:
Звездный период обращения Плутона вокруг Солнца составляет 248 лет. Обозначим его как \( T_{\text{Плутон}} = 248 \) лет.
Формула для нахождения большой полуоси орбиты планеты вокруг Солнца - \( T^2 = \frac{{4\pi^2a^3}}{{GM}} \), где \( T \) - период обращения, \( a \) - большая полуось орбиты, \( G \) - гравитационная постоянная, \( M \) - масса Солнца.

Сначала найдем значение массы Солнца, \( M \). Возьмем ее как известное значение, равное \( M = 1.989 \times 10^{30} \) кг.

Теперь мы можем найти большую полуось орбиты Плутона:
\[ a = \sqrt[3]{{\frac{{T^2 \cdot GM}}{{4\pi^2}}}} \]

Подставим известные значения:
\[ a = \sqrt[3]{{\frac{{(248 \text{ лет})^2 \cdot G \cdot M}}{{4\pi^2}}}} \]

Упростим формулу:
\[ a = \sqrt[3]{{\frac{{(248 \text{ лет})^2 \cdot G \cdot (1.989 \times 10^{30} \text{ кг})}}{{4\pi^2}}}} \]

Получаем значение большой полуоси орбиты Плутона, \( a \).

Перейдем к третьей задаче.

3. Дано:
Справочные данные говорят о массе Луны \( M_{\text{Луна}} = 7.347 \times 10^{22} \) кг.

Для расчета второй космической скорости Луны используется такая же формула, как и для первой задачи: \( v = \sqrt{\frac{{GM}}{{r}}} \), где \( G \) - гравитационная постоянная, \( M \) - масса Луны, \( r \) - радиус Луны.

Найдем радиус Луны \( r_{\text{Луна}} \) по справочным данным.

Теперь мы можем найти вторую космическую скорость Луны:
\[ v_{\text{Луна}} = \sqrt{\frac{{G \cdot M_{\text{Луна}}}}{{r_{\text{Луна}}}}} \]

Подставим известные значения и решим задачу.

Перейдем к четвертой задаче.

4. По закону сохранения механической энергии, в любой точке орбиты сумма кинетической и потенциальной энергии планеты постоянна.

Потенциальная энергия формулируется как \( U = -\frac{{GMm}}{{r}} \), где \( G \) - гравитационная постоянная, \( M \) - масса планеты, \( m \) - масса объекта, \( r \) - расстояние между планетой и объектом.

Так как потенциальная энергия зависит от расстояния \( r \), то максимальная потенциальная энергия будет соответствовать наибольшему расстоянию от планеты.

Следовательно, максимальная потенциальная энергия будет в точке орбиты с максимальным расстоянием от планеты.

Приходим к пятой задаче.

5. Дано:
Большая полуось орбиты астероида Лютеция равна ... (недостающее значение). Обозначим большую полуось орбиты как \( a \).

Период обращения астероида Лютеция можно найти с помощью закона Кеплера: \( T = 2\pi\sqrt{\frac{{a^3}}{{GM}}} \), где \( T \) - период обращения, \( a \) - большая полуось орбиты, \( G \) - гравитационная постоянная, \( M \) - масса тела, вокруг которого осуществляется обращение.

Для решения задачи нам необходимо известное значение большой полуоси орбиты астероида Лютеция, \( a \), чтобы подставить его в формулу и найти период обращения астероида Лютеция, \( T \).

Вычислим период обращения астероида Лютеция, используя данную формулу.

Пожалуйста, обратите внимание, что в задаче номер 5 недостающее значение "большая полуось орбиты астероида Лютеция равна ..." должно быть предоставлено, чтобы я мог вычислить период обращения астероида. Если у вас есть эта информация, пожалуйста, дайте мне ее, и я смогу решить эту задачу для вас.