1) Какова сложность алгоритма умножения двух натуральных чисел, когда одно число содержит n десятичных цифр, а другое

1) Для понимания сложности алгоритма умножения двух натуральных чисел, давайте рассмотрим, как происходит умножение чисел с n и m десятичными цифрами.

Пусть у нас есть числа \(a\) и \(b\) с \(n\) и \(m\) десятичными цифрами соответственно. Чтобы умножить эти числа, мы должны умножить каждую цифру в числе \(a\) на каждую цифру в числе \(b\) и сложить полученные произведения в соответствующих разрядах. Это требует \(n \times m\) операций умножения и \(n + m - 1\) операций сложения.

Таким образом, общая сложность алгоритма умножения двух чисел, содержащих \(n\) и \(m\) десятичных цифр соответственно, равна \(O(n \times m)\). Это означает, что сложность алгоритма растет пропорционально произведению количества цифр в обоих числах.

2) Возведение числа \(x\) в степень \(n = 152\) можно выполнить с помощью алгоритма быстрого возведения в степень. Давайте разберемся, как это сделать.

Алгоритм быстрого возведения в степень позволяет нам уменьшить количество операций умножения, выполняемых для возведения в степень. Основная идея заключается в том, что мы можем разложить степень \(n\) на сумму степеней двойки, а затем возведение \(x\) в каждую такую степень выполнить с использованием уже полученных результатов.

Поэтапное решение алгоритма:

1. Инициализируем переменные: \(result = 1\) (начальное значение результата), \(current = x\) (текущее значение, которое будем возведать в степень), \(power = n\) (начальное значение степени).

2. Пока степень \(power > 0\):

а. Если степень \(power\) нечетная: умножаем \(result\) на \(current\).

б. Возведение \(current\) в квадрат.

в. Уменьшение степени \(power\) вдвое (деление на 2 целочисленным делением).

3. Когда степень \(power\) станет равной 0, возвращается значение \(result\), которое будет результатом возведения числа \(x\) в степень \(n\).

Этот алгоритм эффективен, потому что количество операций умножения будет пропорционально логарифму степени \(n\), то есть \(O(\log n)\). Это гораздо быстрее, чем выполнение \(n-1\) операций умножения при обычном подходе.