1. Какова скорость шарика после удара, если стержень отклонился на прямой угол? 2. Каково отношение скоростей центров

Конечно, я помогу вам с задачами. Вот решение каждой из них:

1. Чтобы найти скорость шарика после удара, нам понадобится применить законы сохранения. Поскольку стержень отклонился на прямой угол, можно сделать вывод, что момент импульса до удара и после удара должен сохраняться.

Пусть шарик массой \(m\) движется со скоростью \(v\) перед ударом. После удара шарик отскакивает под прямым углом с той же скоростью \(v\).

Момент импульса (L) до удара равен массе шарика умноженной на его скорость, а момент импульса после удара также должен быть равен массе шарика умноженной на его скорость:

\[L_{\text{до}} = L_{\text{после}}\]
\[m \cdot v = m \cdot v"\]

Где \(v"\) - скорость шарика после удара.

Таким образом, скорость шарика после удара будет равна его исходной скорости \(v\).

2. Для определения отношения скоростей центров тяжести сплошного и полого цилиндров при скатывании с наклонной плоскости, воспользуемся принципом сохранения энергии и момента импульса.

Пусть шарик радиусом \(R\) и массой \(m\) скатывается с высоты \(h\) на наклонную плоскость. Центр тяжести сплошного цилиндра находится на половине его высоты, а центр тяжести полого цилиндра совпадает с его осью.

Используем принцип сохранения энергии:

\(m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot I \cdot \omega^2 + \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\)

Где \(g\) - ускорение свободного падения, \(I\) - момент инерции цилиндра, \(\omega\) - угловая скорость цилиндра, \(v\) - линейная скорость центра тяжести цилиндра.

Момент инерции для сплошного цилиндра равен:
\(I = \frac{1}{2} \cdot m \cdot R^2\)

Момент инерции для полого цилиндра равен:
\(I = m \cdot R^2\)

Теперь рассмотрим момент импульса. Поскольку момент силы трения относительно оси цилиндра равен нулю, момент импульса должен сохраняться:

\(m \cdot R \cdot v_{\text{спл}}} = I \cdot \omega_{\text{спл}}\)

\(m \cdot R \cdot v_{\text{пол}}} = I \cdot \omega_{\text{пол}}\)

Разделим уравнение момента импульса для сплошного цилиндра на уравнение для полого цилиндра:

\(\frac{v_{\text{спл}}}{v_{\text{пол}}}} = \frac{\omega_{\text{спл}}}{\omega_{\text{пол}}}}\)

Угловые скорости связаны соотношением \(v = R \cdot \omega\)

Тогда можно записать:

\(\frac{v_{\text{спл}}}{v_{\text{пол}}}} = \frac{R \cdot \omega_{\text{спл}}}{R \cdot \omega_{\text{пол}}}}\)

Так как радиусы цилиндров сокращаются, получаем:

\(\frac{v_{\text{спл}}}{v_{\text{пол}}}} = \frac{\omega_{\text{спл}}}{\omega_{\text{пол}}}}\)

Таким образом, отношение скоростей центров тяжести сплошного и полого цилиндров при скатывании с наклонной плоскости равно отношению их угловых скоростей.

3. Линейные ускорения центров можно определить, применяя формулу для ускорения вращающегося тела. Линейное ускорение центра тяжести может быть представлено как производная скорости центра тяжести по времени.

Для случая сплошного и полого цилиндров выражения для линейных ускорений имеют вид:

\(a_1 = R \cdot \alpha_1\)

\(a_2 = R \cdot \alpha_2\)

Где \(a_1\) - линейное ускорение центра тяжести сплошного цилиндра, \(a_2\) - линейное ускорение центра тяжести полого цилиндра, \(R\) - радиус цилиндра, \(\alpha_1\) - угловое ускорение сплошного цилиндра, \(\alpha_2\) - угловое ускорение полого цилиндра.

Таким образом, чтобы найти линейные ускорения центров тяжести, необходимо умножить угловые ускорения на радиус цилиндров.