1. Какова площадь полной поверхности конуса с высотой 12 см и диаметром основания 14 см? 2. Найдите площадь сечения

длиной 8 см?

Хорошо, давайте начнем с решения каждой задачи:

1. Для первой задачи нам нужно найти площадь полной поверхности конуса. Формула для этого:
\[ПП = \pi \cdot r \cdot (r + l)\]

Где \(ПП\) - площадь полной поверхности, \(\pi\) - число пи (примерно 3.14), \(r\) - радиус основания, \(l\) - образующая конуса.

В данной задаче нам известны высота конуса \(h = 12\) см и диаметр основания \(d = 14\) см. Мы можем вычислить радиус основания, разделив диаметр на 2: \(r = \frac{d}{2} = \frac{14}{2} = 7\) см. Известно, что образующая конуса \(l\) может быть найдена при помощи теоремы Пифагора, используя высоту и радиус основания:
\(l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{7^2 + 12^2} = \sqrt{49 + 144} = \sqrt{193}\) см.

Теперь, подставляя значения в формулу площади полной поверхности:
\(ПП = \pi \cdot 7 \cdot (7 + \sqrt{193})\).

2. Для второй задачи мы должны найти площадь сечения шара, удаленную от его центра на 9 см. Площадь сечения шара всегда является кругом. Формула для площади круга:
\(П = \pi \cdot r^2\),

где \(П\) - площадь круга, \(\pi\) - число пи и \(r\) - радиус шара.

В данной задаче радиус шара \(r = 12\) см. Однако нам нужно найти площадь сечения, расположенного на расстоянии 9 см от центра. Это значит, что радиус сечения будет составлять \(r_1 = r - 9\) см. Подставляя значения в формулу, мы получаем:
\(П = \pi \cdot (r - 9)^2\).

3. Для третьей задачи, нам нужно найти площадь сечения, через которое проходят две образующие конуса под углом 45°. Чтобы упростить задачу, представим, что у нас есть два прямоугольных треугольника, образующие которых - это образующие конуса, а основание каждого треугольника - это равнобедренный треугольник, с углом в 60° у основания. Площадь сечения через эти две образующие будет составлять половину площади основания треугольника, так как у нас 2 треугольника.

Для вычисления площади основания треугольника, мы можем использовать формулу:
\(П = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C)\),
где \(П\) - площадь, \(a\) и \(b\) - длины сторон треугольника, \(C\) - угол между этими сторонами.

В данной задаче радиус основания конуса \(r = 6\) см. Известно, что угол между образующей и плоскостью основания равен 60°. Также, мы можем использовать угол 45°, чтобы найти длину образующей конуса. Для этого мы можем использовать тригонометрический метод вычисления стороны треугольника: \(l = r / \sin(45°)\).

Площадь основания треугольника: \(П осн = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin(60°) = 18 \cdot \sqrt{3}\) см².

Площадь сечения: \(П сеч = П осн \cdot 2 = 36 \cdot \sqrt{3}\) см².

Также, чтобы найти боковую площадь конуса, мы можем использовать формулу:
\(П бок = \pi \cdot r \cdot l\),
где \(П бок\) - площадь боковой поверхности конуса.

В данной задаче \(П бок = \pi \cdot 6 \cdot \sqrt{3}\).

4. В четвертой задаче нам дано, что осевое сечение цилиндра является квадратом с диагональю длиной 8 см. Мы можем найти площадь полной поверхности цилиндра, используя формулу:
\(ПП = 2 \cdot \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h\),
где \(ПП\) - площадь полной поверхности, \(\pi\) - число пи, \(r\) - радиус основания цилиндра, \(h\) - высота цилиндра.

Мы знаем, что диагональ квадрата равна 8 см. Если обозначить сторону квадрата за \(a\), то ее можно найти с помощью теоремы Пифагора: \(a = \sqrt{8^2 - 8^2} = 4\sqrt{2}\) см. Так как это осевое сечение, сторона квадрата равна диаметру основания цилиндра, а радиус будет половиной стороны квадрата: \(r = \frac{a}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\) см.

Подставляя значения в формулу площади полной поверхности:
\(ПП = 2 \cdot \pi \cdot (2\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \pi \cdot (2\sqrt{2}) \cdot h\).

Надеюсь, что это пошаговое решение помогло вам разобраться с каждой задачей. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!