1) Какова длина радиуса окружности, описанной вокруг данного правильного шестиугольника, если его наибольшая диагональ

10 см?

Здравствуйте! Для того чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать свойство радиуса окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника.

1) Для начала, давайте рассмотрим правильный шестиугольник, вписанной в окружность. Внутренние углы правильного шестиугольника равны 120 градусам каждый. Также, диагональ наибольшая диагональ делит шестиугольник на равносторонний треугольник, а её длина равна диаметру описанной окружности.

Теперь мы можем воспользоваться треугольником 120 градусов, чтобы найти сторону шестиугольника. С помощью формулы косинусов, мы можем выразить сторону шестиугольника через длину диагонали. Обозначим сторону как a и длину диагонали как d:

\[a = \frac{d}{2 \cdot \cos(120^\circ)} = \frac{d}{2 \cdot(-\frac{1}{2})} = -\frac{d}{4}\]

Заметим, что полученное значение отрицательно, но в данном случае мы можем игнорировать знак минус и взять только абсолютное значение стороны.

Теперь мы знаем сторону правильного шестиугольника, и можем найти радиус окружности, описанной вокруг него. Длина стороны равна половине диаметра данной окружности:

\[r = \frac{a}{2} = \frac{-d/4}{2} = -\frac{d}{8}\]

Но, как и раньше, мы игнорируем знак минус и берем только абсолютное значение радиуса.

Таким образом, длина радиуса окружности, описанной вокруг данного правильного шестиугольника, равна \(r = \frac{d}{8}\). Если наибольшая диагональ составляет 10 см, то радиус окружности будет равен \(r = \frac{10}{8} = 1.25\) см.

2) Чтобы найти длину радиуса окружности, вписанной в данный правильный шестиугольник, мы можем использовать свойство радиуса и диагонали. Диагональ делит шестиугольник на два равных треугольника, где каждый угол будет составлять 60 градусов.

Мы можем рассмотреть один такой треугольник. Обозначим сторону треугольника через a и радиус окружности через r.

Мы можем использовать формулу синуса, чтобы найти сторону треугольника:

\[a = \frac{d}{2 \cdot \sin(60^\circ)} = \frac{d}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{d}{\sqrt{3}}\]

Затем, мы можем использовать соотношение между радиусами окружностей, вписанных и описанных вокруг правильного шестиугольника. Соотношение между этими радиусами составляет:

\[R = \frac{2r}{\sqrt{3}}\]

Где R - радиус описанной окружности, а r - радиус вписанной окружности.

Теперь, мы можем выразить радиус вписанной окружности через радиус описанной окружности:

\[r = \frac{R}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{d}{2 \cdot \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{d}{4}\]

Таким образом, длина радиуса окружности, вписанной в данный правильный шестиугольник, равна \(r = \frac{d}{4}\). Если наибольшая диагональ составляет 10 см, то радиус окружности будет равен \(r = \frac{10}{4} = 2.5\) см.