1. Какова длина меньшей диагонали призмы с высотой 2 и площадью основания, равной 6 корней из 3? Какова площадь полной

1. Для решения первой задачи нам понадобятся знания о призме. Призма - это трехмерное геометрическое тело, у которого основаниями являются равные и подобные многоугольники, а боковые грани - прямоугольники. Призма имеет две параллельные равные плоскости основания.

Для нахождения длины меньшей диагонали призмы нам понадобятся данные о высоте и площади основания. Площадь основания равна 6 корней из 3, а высота равна 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образуемый высотой, меньшей диагональю и боковым ребром призмы.

Обозначим меньшую диагональ как \(d\). Тогда площадь основания можно найти по формуле \(S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times d \times b\), где \(b\) - большая диагональ.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образуемый высотой, меньшей диагональю и боковым ребром призмы. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. В данном случае катетами будут высота и половина большей диагонали \(b/2\), а гипотенузой - меньшая диагональ \(d\).

Получаем: \((2\sqrt{3})^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = d^2\). Раскрываем скобки и получаем уравнение: \(12 + \frac{b^2}{4} = d^2\).

Теперь подставляем значение площади основания: \(12 + \frac{b^2}{4} = d^2\) и решаем это уравнение относительно \(d\).

Из уравнения можно увидеть, что длина меньшей диагонали призмы равна \(\sqrt{12 + \frac{b^2}{4}}\).

Для нахождения площади полной поверхности призмы, нужно учесть поверхности оснований и боковые поверхности. Площадь одной боковой поверхности можно найти по формуле \(P_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \times h\), где \(P_{\text{осн}}\) - площадь основания, а \(h\) - высота.

Так как у призмы два основания, то площадь полной поверхности равна \(P_{\text{полн}} = 2 \times P_{\text{осн}} + P_{\text{бок}}\).

Теперь подставляем известные значения: \(P_{\text{полн}} = 2 \times 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} \times 2\).

Таким образом, длина меньшей диагонали призмы равна \(\sqrt{12 + \frac{b^2}{4}}\), а площадь полной поверхности - \(18 \sqrt{3}\).

2. Для решения второй задачи нам понадобятся знания о правильной треугольной пирамиде. Правильная треугольная пирамида - это трехмерное геометрическое тело, у которого основание является правильным треугольником, а боковые грани - равные четырехугольники, у которых две стороны равны и образуют прямой угол.

Для нахождения радиуса вписанной окружности пирамиды, нам понадобятся данные о высоте и угле между боковым ребром и плоскостью основания. В данном случае высота равна \(2\sqrt{3}\), а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45 градусов.

Определим основание правильной треугольной пирамиды как равносторонний треугольник со стороной \(a\). Тогда боковое ребро пирамиды равно \(a\), а его высота к основанию можно найти как \(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Далее, для нахождения радиуса вписанной окружности воспользуемся формулой для площади равностороннего треугольника: \(S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2\).

Так как радиус вписанной окружности равен половине стороны, то \(r = \frac{a}{2}\).

Теперь подставляем известные значения: \(r = \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a\).

Таким образом, радиус вписанной окружности пирамиды равен \(\frac{\sqrt{3}}{4} \times a\), а площадь полной поверхности пирамиды можно найти с помощью формулы \(P_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + P_{\text{бок}}\), где \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания, а \(P_{\text{бок}}\) - сумма площадей боковых поверхностей.

Теперь подставляем известные значения: \(P_{\text{полн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 + \frac{a\sqrt{3}}{2} \times a \times 3\).