1) Каков модуль скорости точки в момент времени t = 1с, если движение точки по известной траектории задано уравнением

1) Для определения модуля скорости в момент времени \(t = 1\) с использованием заданного уравнения движения, мы сначала найдем производную уравнения \(s(t)\) по времени для получения уравнения скорости \(v(t)\). Затем мы подставим \(t = 1\) в полученное уравнение, чтобы найти модуль скорости.

Уравнение движения дано как \(s = -3 + 5t + t^2\).
Найдем производную \(s(t)\) по времени \(t\):
\[v(t) = \frac{{ds}}{{dt}} = \frac{{d(-3 + 5t + t^2)}}{{dt}}\]

Дифференцируя каждый член уравнения по отдельности, получим:
\[v(t) = 5 + 2t\]

Подставляем \(t = 1\) в уравнение скорости, чтобы найти модуль скорости:
\[|v(1)| = |5 + 2(1)| = |5 + 2| = |-3| = 3\]

Таким образом, модуль скорости точки в момент времени \(t = 1\) секунда составляет 3 м/с.

2) Чтобы найти радиус кривизны траектории в данном моменте времени \(t = 1\) секунда, нам необходимо использовать нормальное ускорение и формулу радиуса кривизны \(R = \frac{{v^2}}{{a_n}}\).

Уравнение движения дано как \(s(t) = -6 + 5t - t^2\), а нормальное ускорение в момент времени \(t = 1\) секунда равно \(a_n = 5\) м/с\(^2\).

Мы уже нашли уравнение скорости в предыдущем пункте: \(v(t) = 5 + 2t\). Теперь найдем скорость в момент времени \(t = 1\) секунда:
\[v(1) = 5 + 2(1) = 5 + 2 = 7\]

Подставляем значения модуля скорости и нормального ускорения в формулу радиуса кривизны:
\[R = \frac{{v^2}}{{a_n}} = \frac{{7^2}}{{5}} = \frac{{49}}{{5}}\]

Таким образом, радиус кривизны траектории в данном моменте времени равен \(\frac{{49}}{{5}}\) метров.

3) Для определения радиуса кривизны траектории в данный момент времени, мы сначала найдем производные первого и второго порядка для заданного уравнения движения \(s(t)\). Затем, используя эти производные, мы вычислим нормальное ускорение. Наконец, подставим значения нормального ускорения и скорости в формулу радиуса кривизны.

Уравнение движения дано как \(s(t) = 5 - 4t + 3t^3\).

Находим производную первого порядка:
\[v(t) = \frac{{ds}}{{dt}} = \frac{{d(5 - 4t + 3t^3)}}{{dt}} = -4 + 9t^2\]

Находим производную второго порядка:
\[a(t) = \frac{{dv}}{{dt}} = \frac{{d(-4 + 9t^2)}}{{dt}} = 18t\]

Подставляем \(t = 1\) в производную второго порядка для определения нормального ускорения:
\[a_n = a(1) = 18(1) = 18 \ \text{м/с}^2\]

Теперь найдем модуль скорости в момент времени \(t = 1\) секунда, используя уравнение скорости:
\[v(1) = -4 + 9(1)^2 = -4 + 9 = 5\]

Подставляем значения модуля скорости и нормального ускорения в формулу радиуса кривизны:
\[R = \frac{{v^2}}{{a_n}} = \frac{{5^2}}{{18}} = \frac{{25}}{{18}}\]

Таким образом, радиус кривизны траектории в данный момент времени составляет \(\frac{{25}}{{18}}\) метров.