1. Каков коэффициент жесткости невесомой пружины при известном максимальном значении кинетической энергии груза

1. Коэффициент жесткости пружины (\(k\)) можно найти, используя формулу для потенциальной энергии пружины \(U = \frac{1}{2} kx^2\), где \(U\) - потенциальная энергия, \(k\) - коэффициент жесткости пружины, \(x\) - амплитуда колебаний.

Мы знаем, что максимальная кинетическая энергия груза (\(K_{max}\)) равна 0,5 Дж. В моментах малых колебаний кинетическая энергия является равной потенциальной энергии упругой деформации, поэтому \(K_{max} = U_{max} = \frac{1}{2} kx_{max}^2\).

У нас дано, что \(x_{max} = 4\) см. Подставляя известные значения в формулу, получаем:

\[0,5 = \frac{1}{2} \cdot k \cdot (0,04)^2\]

Чтобы найти коэффициент жесткости пружины, разделим обе части уравнения на \(\frac{1}{2} \cdot (0,04)^2\):

\[k = \frac{0,5}{\frac{1}{2} \cdot (0,04)^2}\]

Теперь решим это уравнение, получив приближенное значение:

\[k \approx \frac{0,5}{\frac{1}{2} \cdot 0,0016} \approx 625 \, \text{Н/м}\]

Таким образом, коэффициент жесткости невесомой пружины равен примерно 625 Н/м.

2. Для того, чтобы найти смещение маятника (\(x\)), при котором его кинетическая энергия равна потенциальной, мы можем использовать формулу для потенциальной и кинетической энергии:
\[K = \frac{1}{2} mv^2 \quad \text{и} \quad U = \frac{1}{2} kx^2,\]
где \(K\) - кинетическая энергия, \(m\) - масса груза, \(v\) - скорость груза, \(U\) - потенциальная энергия, \(k\) - коэффициент жесткости пружины, \(x\) - смещение маятника.

Мы знаем, что кинетическая энергия (\(K\)) и потенциальная энергия (\(U\)) равны при данном смещении маятника (\(x\)), поэтому \(K = U\). Подставляя известные значения, получаем:

\[\frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} kx^2\]

Мы также знаем, что \(v = \omega x\), где \(\omega\) - угловая скорость маятника. Подставляем это в уравнение:

\[\frac{1}{2} m(\omega x)^2 = \frac{1}{2} kx^2\]

Упрощая выражение и сокращая на \(\frac{1}{2} x^2\), получим:

\[m(\omega x)^2 = kx^2\]

Деля обе части на \(x^2\) и дробя на \(m\), получаем:

\[(\omega x)^2 = \frac{k}{m}\]

Теперь решаем это уравнение относительно \(x\):

\[x^2 = \frac{k}{m \omega^2}\]

\[x = \sqrt{\frac{k}{m \omega^2}}\]

Мы знаем, что \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\), поэтому:

\[x = \sqrt{\frac{k}{m \cdot \frac{k}{m}}} = \sqrt{1} = 1 \, \text{см}\]

Таким образом, чтобы кинетическая энергия маятника была равной потенциальной, необходимо смещение маятника составляло 1 см.

3. Полная механическая энергия колебаний груза (\(E\)) может быть найдена суммой его кинетической и потенциальной энергии:
\[E = K + U\]

Мы знаем, что кинетическая энергия (\(K\)) равна \(\frac{1}{2} mv^2\) и потенциальная энергия (\(U\)) равна \(\frac{1}{2} kx^2\), где \(m\) - масса груза, \(v\) - скорость груза, \(k\) - коэффициент жесткости пружины, \(x\) - амплитуда колебаний.

Массу груза (\(m\)) и коэффициент жесткости пружины (\(k\)) мы знаем. Амплитуда колебаний (\(x\)) равна 15 см (0,15 м).

Подставляем известные значения в формулу:

\[E = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} kx^2\]

Чтобы найти скорость (\(v\)) груза, используем формулу связи для гармонического движения \(v = \omega x\), где \(\omega\) - угловая частота колебаний. Заменяем \(v\) в формуле:

\[E = \frac{1}{2} m(\omega x)^2 + \frac{1}{2} kx^2\]

Подставляем известные значения и упрощаем выражение:

\[E = \frac{1}{2} m(\sqrt{\frac{k}{m}} x)^2 + \frac{1}{2} kx^2 = \frac{1}{2} (\sqrt{km} x^2 + kx^2)\]

Факторизуем выражение:

\[E = \frac{1}{2} (x^2(\sqrt{km} + k))\]

Подставляем известные значения и вычисляем:

\[E = \frac{1}{2} (0,15^2(\sqrt{0,4 \cdot 250} + 0,4 \cdot 250)) \approx 0,22625 \, \text{Дж}\]

Таким образом, полная механическая энергия колебаний груза равна приблизительно 0,22625 Дж.

4. Чтобы найти долю полной энергии математического маятника, которую составляет потенциальная энергия (\(\frac{U}{E}\)), мы должны знать выражения для кинетической (\(K\)) и потенциальной (\(U\)) энергий маятника.

Мы знаем, что кинетическая энергия (\(K\)) математического маятника при смещении равном половине (\(x = 0,5\)) равна \(\frac{1}{4} m(\omega x)^2\) и потенциальная энергия (\(U\)) равна \(\frac{1}{4} kx^2\), где \(m\) - масса маятника, \(k\) - коэффициент жесткости пружины, \(x\) - смещение маятника.

Полная механическая энергия (\(E\)) может быть найдена как сумма кинетической и потенциальной энергий:

\[E = K + U = \frac{1}{4} m(\omega x)^2 + \frac{1}{4} kx^2\]

Делаем замену \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\), получаем:

\[E = \frac{1}{4} m(\sqrt{\frac{k}{m}} x)^2 + \frac{1}{4} kx^2\]

Упрощаем выражение:

\[E = \frac{1}{4} (x^2(\sqrt{\frac{k}{m}})^2 + kx^2)\]

Факторизуем выражение:

\[E = \frac{1}{4} x^2(\sqrt{\frac{k}{m}} + k)\]

Теперь вычисляем долю потенциальной энергии от полной энергии:

\[\frac{U}{E} = \frac{\frac{1}{4} kx^2}{\frac{1}{4} x^2(\sqrt{\frac{k}{m}} + k)}\]

Упрощаем выражение, сокращаем на \(\frac{1}{4} x^2\):

\[\frac{U}{E} = \frac{k}{\sqrt{\frac{k}{m}} + k}\]

Подставляем известные значения и вычисляем:

\[\frac{U}{E} = \frac{250}{\sqrt{\frac{250}{0,4}} + 250} \approx 0,999\]

Таким образом, потенциальная энергия математического маятника составляет приблизительно 99,9% от полной энергии, когда его смещение равно половине.