1. Какое уравнение описывает колебания груза массой 0,5 кг на пружине с коэффициентом жесткости 50 Н/м? Каково смещение

Задача 1:
Для описания колебаний груза на пружине используется уравнение гармонических колебаний. Данная система подчиняется закону Гука, который описывается следующим уравнением:

\[F = -k \cdot x\],

где F - сила, действующая на груз, k - коэффициент жёсткости пружины, x - смещение груза от равновесного положения.

Масса груза нас не интересует, поэтому уравнение примет вид:

\[ma = -k \cdot x\].

Согласно второму закону Ньютона, в данном случае можем записать:

\[m \cdot \frac{d^2x}{dt^2} = -k \cdot x\].

Окончательно, получаем уравнение гармонических колебаний:

\[\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m} \cdot x = 0\].

С учетом данных условий задачи, где масса груза m = 0,5 кг и коэффициент жесткости пружины k = 50 Н/м, подставляем значения и записываем окончательное уравнение:

\[\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{50}{0,5} \cdot x = 0\].

Теперь найдем смещение груза в момент времени t = Т/6, где Т - период колебаний.

Период колебаний определяется формулой:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\].

Подставляем известные значения массы и коэффициента жесткости:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{0,5}{50}}\].

Учитывая, что t = Т/6, подставим в данное выражение:

\[t = \frac{2\pi}{6}\sqrt{\frac{0,5}{50}}\].

Остается только рассчитать смещение груза. Для этого, известно, что максимальное отклонение от положения равновесия достигается, когда энергия полная механическая (потенциальная энергия упругой деформации пружины и кинетическая энергия груза) становится максимальной. По закону сохранения механической энергии:

\[E_{\text{полн.}} = E_{\text{пот.}} + E_{\text{кин.}} = \frac{1}{2}kx_{\text{max}}^2 + \frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2\],

где x_{\text{max}} - максимальное смещение груза от положения равновесия, v_{\text{max}} - максимальная скорость груза.

С учетом условий задачи, где x_{\text{max}} - максимальное отклонение, записываем уравнение:

\[E_{\text{полн.}} = \frac{1}{2}kx_{\text{max}}^2 + \frac{1}{2}m(v_{\text{max}})^2 = \frac{1}{2}kx_{\text{max}}^2 + \frac{1}{2}m(0)^2\],

где скорость максимального отклонения груза равна нулю.

Подставляем известные значения - m = 0,5 кг и k = 50 Н/м:

\[E_{\text{полн.}} = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot x_{\text{max}}^2 + 0\].

Теперь найдем значение x_{\text{max}}:

\[\frac{1}{2} \cdot 50 \cdot x_{\text{max}}^2 = E_{\text{полн.}}\].

\[x_{\text{max}}^2 = \frac{2 \cdot E_{\text{полн.}}}{50}\].

\[x_{\text{max}} = \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\text{полн.}}}{50}}\].

В результате получаем окончательный ответ для задачи 1.