1. Какое расстояние орбиты Урана до Солнца, если её звездный период составляет 84 года? При расстоянии Земли от Солнца

1. Чтобы определить расстояние орбиты Урана до Солнца, нам необходимо знать его звездный период и расстояние Земли от Солнца, а также период обращения Земли.

Звездный период Урана составляет 84 года. Мы также знаем, что период обращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год.

Давайте воспользуемся известной формулой Кеплера: период обращения в кубе относится к средней полуоси эллипса в кубе, то есть \(\frac{{T_1^3}}{{a_1^3}} = \frac{{T_2^3}}{{a_2^3}}\), где \(T_1\) и \(T_2\) - периоды обращения, а \(a_1\) и \(a_2\) - средние полуоси.

Мы можем заменить значения, чтобы найти расстояние орбиты Урана (\(a_2\)):

\(\frac{{1^3}}{{1}} = \frac{{84^3}}{{a_2^3}}\)

Решив это уравнение, получим:

\(a_2^3 = 84^3\)

тогда

\(a_2 = \sqrt[3]{{84^3}}\)

Вычислив это, получаем:

\(a_2 \approx 19.18\)

Таким образом, расстояние орбиты Урана от Солнца примерно равно 19.18 астрономических единиц (а.е.).

2. Чтобы определить время, которое Сатурн занимает на одно обращение вокруг Солнца, нам необходимо знать его большую полуось орбиты.

Дано, что большая полуось орбиты Сатурна составляет 9.5 а.е.

Давайте снова воспользуемся формулой Кеплера: \(\frac{{T_1^3}}{{a_1^3}} = \frac{{T_2^3}}{{a_2^3}}\)

Заменив значения, получим:

\(\frac{{1^3}}{{1}} = \frac{{T_2^3}}{{9.5^3}}\)

Решая это уравнение, получим:

\(T_2^3 = 9.5^3\)

тогда

\(T_2 = \sqrt[3]{{9.5^3}}\)

Вычислив это, получаем:

\(T_2 \approx 29.46\)

Таким образом, Сатурн занимает примерно 29.46 лет на одно обращение вокруг Солнца.

3. Теперь рассмотрим Юпитер. У нас есть информация о его большой полуоси орбиты, которая составляет 5 а.е.

Воспользуемся снова формулой Кеплера: \(\frac{{T_1^3}}{{a_1^3}} = \frac{{T_2^3}}{{a_2^3}}\)

Заменив значения, получим:

\(\frac{{1^3}}{{1}} = \frac{{T_2^3}}{{5^3}}\)

Решив это уравнение, получим:

\(T_2^3 = 5^3\)

тогда

\(T_2 = \sqrt[3]{{5^3}}\)

Вычислив это, получаем:

\(T_2 \approx 11.18\)

Таким образом, Юпитер занимает примерно 11.18 лет на одно обращение вокруг Солнца.

4. В этом случае у нас есть информация о звездном периоде обращения Юпитера вокруг Солнца, который составляет 12 лет. Мы должны определить среднее расстояние между Юпитером и Солнцем.

Опять же, мы можем использовать формулу Кеплера: \(\frac{{T_1^3}}{{a_1^3}} = \frac{{T_2^3}}{{a_2^3}}\)

Заменив значения, получим:

\(\frac{{12^3}}{{1^3}} = \frac{{1^3}}{{a_2^3}}\)

Решив это уравнение, получим:

\(a_2^3 = \frac{{1^3}}{{12^3}}\)

тогда

\(a_2 = \sqrt[3]{{\frac{{1^3}}{{12^3}}}}\)

Вычислив это, получаем:

\(a_2 \approx 0.272\)

Таким образом, среднее расстояние между Юпитером и Солнцем примерно равно 0.272 а.е.

5. Наконец, рассмотрим орбиту Марса. Дано, что его большая полуось орбиты составляет 1.2 а.е.

Мы можем использовать формулу Кеплера, чтобы найти время, которое Марс занимает на одно обращение вокруг Солнца.

Заменим значения:

\(\frac{{1^3}}{{1}} = \frac{{T_2^3}}{{1.2^3}}\)

Решив это уравнение, получим:

\(T_2^3 = 1.2^3\)

тогда

\(T_2 = \sqrt[3]{{1.2^3}}\)

Вычислив это, получаем:

\(T_2 \approx 1.52\)

Таким образом, Марс занимает примерно 1.52 года на одно обращение вокруг Солнца.