1. Какое местоимение может быть выписано? Я проиграл как эту партию, так и еще не помню сколько. Потом мы начали

1. В предложении "Я проиграл как эту партию, так и еще не помню сколько." местоимение "я" может быть выписано. Оно указывает на говорящего, то есть на человека, который проиграл партию и не помнит сколько раз это уже произошло ранее.
Партия - существительное в винительном падеже, указывает на то, что говорящий проиграл её.
Ещё - наречие, указывает на то, что говорящий проиграл не только эту партию, но и другие в прошлом.

2. В предложении "Потом мы начали заниматься арифметикой, и здесь также проявился его неприятный характер. Ничем он не мог объясниться спокойно." местоимение "он" может быть выписано. Оно относится к кому-то (или чему-то), о чем рассказывается в предложении, в данном случае к человеку, который не мог объясниться спокойно при занятии арифметикой.
Здесь - наречие, указывает на то, что говорящий продолжает описывать ситуацию, происходящую в месте, о котором речь шла ранее.

3. В предложении "Я читал эту книгу в течение двух дней, и когда пришел на третий день к Алику, я начал выигрывать у него партию за партией. Алик просто был удивлен и не мог понять, в чем дело." местоимение "я" может быть выписано. Оно указывает на говорящего, который читал книгу в течение двух дней и начал побеждать Алика в шахматных партиях.
Алик - собственное имя, указывает на человека, с которым говорящий играл шахматы.
Удивлен - прилагательное, указывает на эмоциональное состояние Алика, который не мог понять почему говорящий стал выигрывать у него.

4. В предложении "Наш вожатый" местоимение не может быть выписано. "Наш" является прилагательным, указывает на принадлежность вожатого к группе или коллективу, к которому принадлежит говорящий. В данном случае говорящий относит себя к тем, кто считает вожатого своим.
Вожатый - существительное, указывает на должность или профессию человека, который занимается руководством и организацией отдыха и развлечений для группы людей, как правило, в детском лагере или школе.