1. Какое количество перестановок может быть образовано из слова студент ? Совет колледжа состоит из 7 студентов

1. Чтобы определить количество перестановок из слова "студент", мы можем использовать формулу для перестановок с повторениями. В данном случае у нас есть 7 различных букв, но некоторые из них повторяются. В слове "студент" буква "т" повторяется дважды. Формула для перестановок с повторениями выглядит следующим образом:

\[
\frac{{n!}}{{n_1! \cdot n_2! \cdot ... \cdot n_k!}}
\]

где \(n\) - общее количество объектов для перестановки, а \(n_1, n_2, ..., n_k\) - количество повторяющихся объектов. В нашем случае \(n = 7\) (общее количество букв) и \(n_t = 2\) (количество повторяющихся букв "т").

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[
\frac{{7!}}{{2!}} = \frac{{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{2 \cdot 1}} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 5 040
\]

Таким образом, из слова "студент" можно образовать 5 040 различных перестановок.

Далее, чтобы определить количество различных вариантов выбора председателя, заместителя и секретаря из совета, мы можем использовать формулу для сочетаний без повторений. В данном случае мы выбираем 3 человека из 7, при этом порядок выбора не имеет значения. Формула для сочетаний без повторений выглядит следующим образом:

\[
C_n^k = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n - k)!}}
\]

где \(n\) - общее количество объектов, а \(k\) - количество объектов, которое нужно выбрать. В нашем случае \(n = 7\) (общее количество студентов) и \(k = 3\) (количество должностей).

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[
C_7^3 = \frac{{7!}}{{3! \cdot (7 - 3)!}} = \frac{{7!}}{{3! \cdot 4!}} = \frac{{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{7 \cdot 6 \cdot 5}}{{3 \cdot 2}} = 7 \cdot 5 = 35
\]

Таким образом, существует 35 различных вариантов выбора председателя, заместителя и секретаря из совета.

2. Для определения количества возможных кодов, которые можно подобрать для кодового замка, нужно учесть, что каждая из четырех цифр может быть любой от 0 до 9 (включительно), и что каждая цифра должна быть различной.

Для первой цифры у нас есть 10 вариантов выбора (от 0 до 9).

После выбора первой цифры, для второй цифры у нас остается 9 вариантов выбора (так как она должна быть различной от первой выбранной цифры).

Для третьей цифры остается 8 вариантов выбора, а для четвертой - 7.

Таким образом, общее количество возможных кодов можно определить умножением этих вариантов:

\(10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5 040\)

Таким образом, можно подобрать 5 040 возможных кодов для кодового замка, который открывается одновременным нажатием четырех разных цифр.