1) Какие плоскости содержат прямую В1С и прямую АВ1? 2) Какая прямая пересекает плоскости В1СД и АА1Д, плоскости БДС1

1) Чтобы определить плоскости, содержащие прямую В1С и прямую АВ1, нам нужно знать их направляющие векторы. По направляющим векторам можно построить уравнения плоскостей.

Пусть направляющий вектор прямой В1С равен \(\vec{v_1} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix}\), а направляющий вектор прямой АВ1 равен \(\vec{v_2} = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix}\).

Уравнение плоскости задается следующим образом: \(Ax + By + Cz + D = 0\), где \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) - неизвестные коэффициенты.

Для нахождения уравнения плоскости, содержащей прямую В1С, мы можем использовать векторное произведение между векторами \(\vec{v_1}\) и \(\vec{v_3}\), где \(\vec{v_3}\) - произвольный вектор, не параллельный прямой В1С. Получим:

\(\vec{n_1} = \vec{v_1} \times \vec{v_3}\)

Определим коэффициенты \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) и \(D_1\) уравнения плоскости:

\(A_1 = n_{1x}\)
\(B_1 = n_{1y}\)
\(C_1 = n_{1z}\)
\(D_1 = -(\vec{v_1} \cdot \vec{p})\), где \(\vec{p}\) - произвольная точка на прямой В1С.

Аналогично, для прямой АВ1 мы можем найти направляющий вектор \(\vec{v_4}\) и уравнение плоскости с коэффициентами \(A_2\), \(B_2\), \(C_2\) и \(D_2\).

2) Чтобы определить прямую, пересекающую несколько плоскостей, нам нужно определить их уравнения и найти их точку пересечения.

Пусть плоскости В1СД, АА1Д, БДС1 и А1В1В имеют следующие уравнения: \(Ax + By + Cz + D = 0\), \(Ex + Fy + Gz + H = 0\), \(Ix + Jy + Kz + L = 0\), \(Mx + Ny + Oz + P = 0\).

Чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью, мы можем приравнять уравнение прямой и уравнение плоскости и решить систему уравнений.

Например, для прямой, пересекающей плоскости В1СД и АА1Д, мы решаем систему уравнений:

\[
\begin{cases}
Ax + By + Cz + D = 0 \\
Ex + Fy + Gz + H = 0
\end{cases}
\]

Получим значения координат точки пересечения. Аналогично, мы можем найти точку пересечения прямой с другими плоскостями.

3) Плоскость, которая не пересекается с прямой СД и прямой, может быть найдена с использованием векторного произведения векторов, параллельных прямым. Если векторное произведение равно нулевому вектору, значит, плоскость параллельна прямым и не пересекается ими.

Допустим, направляющие векторы прямой СД и прямой равны \(\vec{v_5} = \begin{pmatrix} x_5 \\ y_5 \\ z_5 \end{pmatrix}\) и \(\vec{v_6} = \begin{pmatrix} x_6 \\ y_6 \\ z_6 \end{pmatrix}\).

Вычислим векторное произведение:

\(\vec{n_2} = \vec{v_5} \times \vec{v_6}\)

Если \(\vec{n_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), то мы получаем плоскость, которая не пересекается с прямой СД и прямой. Если \(\vec{n_2} \neq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), то можно использовать этот вектор для построения уравнения плоскости, не пересекающей прямые СД и прямую.