1) Какие координаты имеет середина отрезка BC треугольника ABC с вершинами A (1;2;3), B (4;-10;7) и C (3;-1;9)?

1) Чтобы найти координаты середины отрезка BC, нам нужно найти среднее значение координат вершин B и C. Для этого сложим соответствующие координаты точек B и C и разделим их на 2:

\[ E = \left(\frac{{x_B + x_C}}{2}, \frac{{y_B + y_C}}{2}, \frac{{z_B + z_C}}{2}\right) \]

Где \( x_B, y_B, z_B \) - координаты вершины B, а \( x_C, y_C, z_C \) - координаты вершины C.

Подставим значения:

\[ E = \left(\frac{{4 + 3}}{2}, \frac{{-10 + (-1)}}{2}, \frac{{7 + 9}}{2}\right) \]

Выполняем вычисления:

\[ E = \left(\frac{7}{2}, \frac{-11}{2}, 8\right) \]

Ответ: Координаты середины отрезка BC треугольника ABC равны \( \left(\frac{7}{2}, \frac{-11}{2}, 8\right) \).

2) Для вычисления длины медианы, проведенной из вершины треугольника, мы должны найти длины отрезков, соединяющих вершину A с серединами противоположных сторон треугольника. В данном случае мы ищем медиану из вершины A, поэтому нам нужно найти длину отрезка, соединяющего вершину A с серединой отрезка BC.

Длина отрезка можно найти с использованием формулы для вычисления расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[ d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}} \]

Где \( x_1, y_1, z_1 \) - координаты вершины A, а \( x_2, y_2, z_2 \) - координаты середины отрезка BC.

Подставим значения:

\[ d = \sqrt{{\left(\frac{7}{2} - 1\right)^2 + \left(\frac{-11}{2} - 2\right)^2 + (8 - 3)^2}} \]

Выполняем вычисления:

\[ d = \sqrt{{\left(\frac{5}{2}\right)^2 + \left(\frac{-15}{2}\right)^2 + 5^2}} \]

\[ d = \sqrt{{\frac{25}{4} + \frac{225}{4} + 25}} \]

\[ d = \sqrt{{\frac{275}{4} + 25}} \]

\[ d = \sqrt{{\frac{275 + 100}{4}}} \]

\[ d = \sqrt{{\frac{375}{4}}} \]

\[ d = \frac{\sqrt{375}}{\sqrt{4}} \]

\[ d = \frac{\sqrt{375}}{2} \]

\[ d = \frac{5\sqrt{15}}{2} \]

Ответ: Длина медианы, проведенной из вершины треугольника ABC, равна \( \frac{5\sqrt{15}}{2} \).