1. Какие грамматические нормы были нарушены в предложении: В наше время, женщина должна занимать важную роль в политике

1. В предложении "В наше время, женщина должна занимать важную роль в политике" есть две грамматические ошибки:
- Ошибочно использовано слово "важную". Следует употребить форму "важная" в соответствии с родом слова "роль" (женский род).
- Необходимо добавить запятую после слова "время" для отделения вводной конструкции "В наше время" от основного предложения.

2. В предложении "Из-за того, что не хватает времени думать о воспитании, растет преступность" есть две грамматические ошибки:
- Лишнее слово "что" перед фразой "не хватает времени". Вместо этого нужно использовать союз "и".
- Отсутствует запятая после фразы "не хватает времени думать о воспитании", чтобы отделить вводную конструкцию.

3. В предложении "Мы говорим, чего мы достигли в Думе" есть одна грамматическая ошибка:
- Ошибочно использовано слово "чего". Вместо этого следует использовать слово "о" для выражения содержания того, о чем говорят.

4. В предложении "Мы обращаемся к нашим политическим оппонентам вести диалог" есть одна грамматическая ошибка:
- Отсутствует союз "чтобы" перед глаголом "вести", который указывает на цель или намерение в данном контексте.

5. В предложении "Более пятидесяти депутатов проголосовало против этого" нет явных грамматических ошибок.

Все указанные ошибки были исправлены, чтобы предложения соответствовали правилам русского языка.