1) Какие функции удовлетворяют уравнению d^2y /dx^2 =4, при условии y=0 при x=0 и y=1 при x=1? 2) Какие функции

1) Для решения данной задачи нам необходимо найти функции, которые удовлетворяют уравнению \(\frac{{d^2y}}{{dx^2}} = 4\), а также удовлетворяют заданным условиям \(y=0\) при \(x=0\) и \(y=1\) при \(x=1\).

Для начала, найдем общее решение дифференциального уравнения \(\frac{{d^2y}}{{dx^2}} = 4\). Для этого мы можем дважды проинтегрировать данное уравнение.

Интегрируя уравнение по переменной \(x\) дважды, получим:
\(\frac{{dy}}{{dx}} = 4x + C_1\),
где \(C_1\) - произвольная постоянная.

Интегрируем еще один раз, получим:
\(y = 2x^2 + C_1x + C_2\),
где \(C_2\) - другая произвольная постоянная.

Используя первое условие \(y=0\) при \(x=0\), мы можем найти значение постоянной \(C_2\):
\(0 = 2(0)^2 + C_1(0) + C_2\),
\(C_2 = 0\).

Таким образом, наше частное решение принимает вид:
\(y = 2x^2 + C_1x\).

Для нахождения значения постоянной \(C_1\), используем второе условие \(y=1\) при \(x=1\):
\(1 = 2(1)^2 + C_1(1)\),
\(1 = 2 + C_1\),
\(C_1 = -1\).

Итак, функция, удовлетворяющая уравнению \(\frac{{d^2y}}{{dx^2}} = 4\) и заданным условиям \(y=0\) при \(x=0\) и \(y=1\) при \(x=1\), имеет вид:
\(y = 2x^2 - x\).

2) Для решения данной задачи нам необходимо найти функции, которые удовлетворяют уравнению \(\frac{{d^2s}}{{dt^2}} = 18t + 2\), а также удовлетворяют заданным условиям \(S=4\) и \(\frac{{ds}}{{dt}} = 5\) при \(t=0\).

Для начала, найдем общее решение дифференциального уравнения \(\frac{{d^2s}}{{dt^2}} = 18t + 2\). Для этого мы можем дважды проинтегрировать данное уравнение.

Интегрируя уравнение по переменной \(t\) дважды, получим:
\(\frac{{ds}}{{dt}} = 9t^2 + 2t + C_1\),
где \(C_1\) - произвольная постоянная.

Интегрируем еще один раз, получим:
\(s = 3t^3 + t^2 + C_1t + C_2\),
где \(C_2\) - другая произвольная постоянная.

Используя первое условие \(s=4\) при \(t=0\), мы можем найти значение постоянной \(C_2\):
\(4 = 3(0)^3 + (0)^2 + C_1(0) + C_2\),
\(C_2 = 4\).

Таким образом, наше частное решение принимает вид:
\(s = 3t^3 + t^2 + C_1t + 4\).

Для нахождения значения постоянной \(C_1\), используем второе условие \(\frac{{ds}}{{dt}} = 5\) при \(t=0\):
\(5 = 3(0)^3 + (0)^2 + C_1(0) + 4\),
\(C_1 = 1\).

Итак, функция, удовлетворяющая уравнению \(\frac{{d^2s}}{{dt^2}} = 18t + 2\) и заданным условиям \(s=4\) и \(\frac{{ds}}{{dt}} = 5\) при \(t=0\), имеет вид:
\(s = 3t^3 + t^2 + t + 4\).