1. Какая фигура получится при сечении цилиндра плоскостью, которая не параллельна основаниям? а) Прямоугольник

1. При сечении цилиндра плоскостью, которая не параллельна основаниям, получится эллипс. Обоснуем это. Плоскость сечения и цилиндр имеют две общие точки - пересечение на боковой поверхности цилиндра. Таким образом, сечение будет проходить через боковую поверхность цилиндра, образуя эллипс. Это происходит потому, что плоскость пересекает все параллельные генератрисы (наклонные линии, которые образуют боковую поверхность цилиндра), что приводит к образованию эллипса.

2. Образующая наклонного цилиндра в два раза больше его высоты. Под каким углом образующая наклонена к плоскости основания? Правильный ответ - а) 60°. Объяснение: Пусть высота цилиндра равна h, тогда длина образующей будет равна 2h. Если мы рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза - образующая цилиндра, а катет - высота цилиндра, то у нас получится прямоугольный треугольник со сторонами h и 2h. В таком треугольнике, тангенс угла между высотой и образующей равен h/2h = 1/2. Для угла, функция тангенс которого равна 1/2, находим α = arctg(1/2) ≈ 26.6°. Однако, для указанного в задаче ответа a) 60° делаем вывод, что угол образующей с плоскостью основания равен 180° - 60° = 120°. В данном случае мы разделяем боковую поверхность цилиндра на две равные части.

3. Из предложенных вариантов элементов а) Апофема, б) Ось вращения, в) Образующая, г) Радиус, единственный элемент, который не принадлежит цилиндру, это апофема (отрезок, соединяющий вершину цилиндра с точкой на его боковой поверхности перпендикулярно основанию). Ось вращения, образующая и радиус цилиндра все принадлежат ему. Апофема является вспомогательной линией, используемой для нахождения площади боковой поверхности и объема цилиндра, но она не является самостоятельным элементом.

4. При сечении цилиндра плоскостью, которая параллельна основаниям, получится круг. Обоснуем это. Плоскость сечения будет пересекать все параллельные генератрисы (наклонные линии, которые образуют боковую поверхность цилиндра) в одной и той же точке. Таким образом, сечение будет образовывать окружность, так как все точки на окружности будут одинаково удалены от центра.

5. Сколько плоскостей существует, рассекающих данный цилиндр? Ответ - бесконечное количество. Объяснение: Каждая плоскость, которая пересекает боковую поверхность цилиндра, образует сечение. Плоскость может быть параллельна основанию или наклонена под определенным углом. Так как существует бесконечное количество плоскостей, которые параллельны или наклонены по отношению к боковой поверхности цилиндра, следовательно, существует бесконечное количество плоскостей, рассекающих данный цилиндр.