1. Как много способов есть для расстановки десятитомника произведений автора на книжной полке, если: 1) I, V и IX тома

Задача 1:

Для начала рассмотрим первое условие, где I, V и IX тома могут стоять рядом в любом порядке. Поскольку эти тома могут переставляться между собой, то их расстановку можно рассматривать как один блок.

У нас есть 8 остальных томов, которые можно расставить на полке. Для этого мы можем использовать формулу для расстановки различных объектов: факториал.

8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40 320

Таким образом, с учетом возможности перестановки I, V и IX томов между собой, у нас есть 40 320 различных способов расстановки десятитомника произведений автора на книжной полке.

Теперь рассмотрим второе условие, где I, II и III тома не могут стоять рядом. Мы можем рассмотреть эту ситуацию как "плохие" случаи, когда I, II и III тома стоят рядом.

Рассмотрим все возможные перестановки I, II и III томов. Их всего 3! = 3 * 2 * 1 = 6. Таким образом, есть 6 "плохих" случаев, когда I, II и III стоят рядом.

Теперь мы можем использовать принцип включения-исключения для определения количества "хороших" случаев, когда I, II и III тома не стоят рядом.

Общее количество способов расстановки без ограничений составляет 40 320, а количество "плохих" случаев равно 6. Поэтому количество "хороших" случаев составляет:

40 320 - 6 = 40 314

Ответ: Есть 40 314 способов для расстановки десятитомника произведений автора на книжной полке при данных условиях.

Задача 2:

1) Для выбора 3 гвоздик из вазы, мы можем использовать формулу для сочетания:

C(9, 3) = \(\frac{9!}{3! \cdot (9 - 3)!}\) = \(\frac{9!}{3! \cdot 6!}\) = \(\frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1}\) = 84

Таким образом, можно выбрать 84 комбинации из 3 гвоздик.

2) Для выбора 4 красных и 3 розовых гвоздик, мы можем использовать формулу для сочетания:

C(9, 4) * C(7, 3) = \(\frac{9!}{4! \cdot (9 - 4)!}\) * \(\frac{7!}{3! \cdot (7 - 3)!}\) = \(\frac{9!}{4! \cdot 5!}\) * \(\frac{7!}{3! \cdot 4!}\) = \(\frac{9 \cdot 8}{1 \cdot 2}\) * \(\frac{7 \cdot 6}{1 \cdot 2}\) = 36 * 35 = 1260

Таким образом, можно выбрать 1260 комбинаций из 4 красных и 3 розовых гвоздик.

Ответ:
1) Можно выбрать 84 комбинации из 3 гвоздик.
2) Можно выбрать 1260 комбинаций из 4 красных и 3 розовых гвоздик.