1. Көрсеткіште аталған контурда, катушканың индуктивтігін 4 реттен артыраттап, конденсатордың сыйымдылығын 2 реттен

Задача 1: Для начала рассмотрим формулу для расчета периода свободных колебаний \(T\) в электрическом контуре, состоящем из индуктивности \(L\) и емкости \(C\):

\[T = 2\pi\sqrt{LC}\]

Дано, что индуктивность увеличивается в 4 раза (\(L" = 4L\)), а емкость уменьшается в 2 раза (\(C" = \frac{1}{2}C\)). Нам нужно найти, как изменится период \(T"\) свободных колебаний.

Подставим новые значения индуктивности и емкости в формулу и найдем выражение для нового периода:

\[T" = 2\pi\sqrt{L"C"}\]

Заменим значения \(L"\) и \(C"\):

\[T" = 2\pi\sqrt{(4L)\left(\frac{1}{2}C\right)}\]
\[T" = 2\pi\sqrt{2LC}\]

Таким образом, период свободных колебаний увеличится в \(\sqrt{2}\) раза по сравнению с исходным периодом. Ответ: период \(T"\) будет в \(\sqrt{2}\) раза больше исходного периода \(T\).

Задача 2: Для расчета резонансной частоты \(f\) тербелированного контура с индуктивностью \(L\) и емкостью \(C\) используется формула:

\[f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\]

Дано, что емкость \(C\) равна 500 пФ (\(C = 500 \times 10^{-12}\)) и индуктивность \(L\) равна 1 мГн (\(L = 1 \times 10^{-3}\)).

Подставим значения в формулу и найдем резонансную частоту:

\[f = \frac{1}{2\pi\sqrt{(1 \times 10^{-3})(500 \times 10^{-12})}}\]
\[f = \frac{1}{2\pi\sqrt{5 \times 10^{-16}}}\]
\[f = \frac{1}{2\pi \times \sqrt{5} \times 10^{-8}}\]
\[f = \frac{10^{-8}}{2\pi \times \sqrt{5}}\]

Таким образом, температура резонанса контура составляет \(\frac{10^{-8}}{2\pi \times \sqrt{5}}\) Гц.

Задача 3: Для расчета индуктивности \(L\) катушки, необходимой для получения электромагнитных колебаний частотой 1 кГц (\(f = 1 \times 10^3\) Гц) с конденсатором ёмкостью 2 мкФ (\(C = 2 \times 10^{-6}\)), используем формулу для резонансной частоты:

\[f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\]

Разрешим эту формулу относительно индуктивности \(L\):

\[L = \frac{1}{(2\pi f)^2C}\]
\[L = \frac{1}{(2\pi \times 10^3)^2 \times 2 \times 10^{-6}}\]
\[L = \frac{1}{4\pi^2 \times 10^6 \times 2 \times 10^{-6}}\]

Таким образом, требуется катушка с индуктивностью \(L = \frac{1}{4\pi^2 \times 10^6 \times 2 \times 10^{-6}}\) Гн (генри), чтобы получить электромагнитные колебания с частотой 1 кГц и конденсатором ёмкостью 2 мкФ.