1. Имеется связь между переменными x и y. Когда эта связь определяет y как функцию от x, выразите эту функцию явно

Хорошо, давайте решим поставленные задачи.

1. Имеется связь между переменными x и y. Когда эта связь определяет y как функцию от x, выразите эту функцию явно. Постройте график зависимости в следующих случаях:

а) 5x + 0y = 3;

Для начала, заметим, что переменная y не участвует в данном уравнении, поэтому связь между x и y является вырожденной. Это означает, что y не зависит от x и остается постоянной. Таким образом, функция y(x) будет являться константой, равной значению, которое она принимает при любом значении x. В данном случае, уравнение 5x + 0y = 3 сводится к уравнению 5x = 3. Путем решения этого уравнения можно найти значение x, но значение y останется неизменным.

б) x + x = y + 1;

Для выражения y явно в зависимости от x, перенесем все x в одну часть уравнения:
2x - y = 1.
Теперь можно выразить y явно:
y = 2x - 1.
Построим график этой функции:

\[ график \]

в) \(\frac{x}{y} = \frac{3}{x} - 1\);

Чтобы выразить y явно в зависимости от x, перенесем все члены уравнения в одну часть:
\(\frac{x}{y} - \frac{3}{x} + 1 = 0\).
Объединим дроби в одну:
\(\frac{x^2 - 3y + xy}{xy} = 0\).
Умножим обе части уравнения на \(xy\):
\(x^2 - 3y + xy = 0\).
Теперь можно выразить y явно:
\(y = \frac{x^2}{3 + x}\).
Построим график этой функции:

\[ график \]

2. Определите область определения функции:

а) \(f(x) = \frac{x}{x-4}\).

Область определения функции определяется значениями x, при которых знаменатель не равен нулю. В данном случае, знаменатель не может быть равен нулю, поэтому исключим значение x = 4 из области определения:
D = {x | x ≠ 4}.


б) \(f(x) = \sqrt{2 - x}\).

Функция корня содержит подкоренное выражение, которое должно быть неотрицательным. Таким образом, мы должны найти значения x, при которых \(2 - x \geq 0\):
2 - x ≥ 0.
Решением этого неравенства будет x ≤ 2.
Следовательно, область определения функции: D = {x | x ≤ 2}.

3. Дана функция \(f(x) = \sqrt{x+1}/x\). Вычислите значения функции при \(x = 1, -3, t/2, t+1, \sqrt{t}, -4, 1/t\).

Чтобы вычислить значения функции для заданных значений x, подставим их в выражение для f(x):

a) \(f(1) = \frac{\sqrt{1+1}}{1} = \frac{2}{1} = 2\).

b) \(f(-3) = \frac{\sqrt{-3+1}}{-3} = \frac{\sqrt{-2}}{-3}\). В данном случае, подкоренное выражение отрицательно, а значит функция не определена для x = -3.

c) \(f(t/2) = \frac{\sqrt{t/2+1}}{t/2} = \frac{\sqrt{\frac{t+2}{2}}}{\frac{t}{2}} = \frac{\sqrt{t+2}}{t}\).

d) \(f(t+1) = \frac{\sqrt{(t+1)+1}}{t+1} = \frac{\sqrt{t+2}}{t+1}\).

e) \(f(\sqrt{t}) = \frac{\sqrt{\sqrt{t}+1}}{\sqrt{t}}\).

f) \(f(-4) = \frac{\sqrt{-4+1}}{-4} = \frac{\sqrt{-3}}{-4}\). Как и в пункте b), подкоренное выражение отрицательно, функция не определена для x = -4.

g) \(f(1/t) = \frac{\sqrt{\frac{1}{t}+1}}{\frac{1}{t}} = \frac{\sqrt{\frac{t+1}{t}}}{\frac{1}{t}} = \sqrt{\frac{t+1}{t}} \cdot t = \sqrt{t+1}\).

4. Дана функция \(f(x) = 2x + 1\) с областью определения \(D: x ≥ 0\). Запишите обратную функцию в виде \(y = g(x)\) и укажите ее область определения. Постройте на одном графике кривые функций \(f(x)\) и \(g(x)\).

Обратная функция \(g\) определяется условием \(f(g(x)) = x\). Следовательно, чтобы найти \(g(x)\) в данном случае, нужно решить уравнение \(2g(x) + 1 = x\):

\[2g(x) = x - 1\]
\[g(x) = \frac{x-1}{2}\]

Область определения функции \(g\) будет такая же, как и у \(f\), так как \(g(x)\) определена только для \(x ≥ 0\).

Теперь построим графики функций \(f(x)\) и \(g(x)\) на одном графике:

\[график\]

Если у вас остались вопросы или нужно что-то объяснить более подробно, пожалуйста, сообщите.