1. Докажите, что тройка векторов e1(1;0;0), e2(1;1;0), e3(1;1;1) является базисом. 2. Разложите вектор а(–2;0;–1

Хорошо, давайте решим каждую задачу по порядку.

1. Чтобы доказать, что тройка векторов \(e_1(1;0;0)\), \(e_2(1;1;0)\) и \(e_3(1;1;1)\) является базисом, необходимо проверить два условия. Во-первых, векторы должны быть линейно независимыми. Во-вторых, они должны спанить всё пространство.

- Проверка линейной независимости:
Примем каждый вектор как столбец в матрице:
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\]
Применим элементарные преобразования к этой матрице и проверим, что она приводится к ступенчатому виду или, иначе говоря, что определитель этой матрицы не равен нулю.
Вычтем из второй строки первую и из третьей строки первую, умноженную на 2:
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & -2 & -1 \\
\end{pmatrix}
\]
Очевидно, что определитель этой матрицы не равен нулю, значит, векторы линейно независимы.

- Проверка спана векторов:
Чтобы убедиться, что эти векторы спанят всё пространство, нужно убедиться, что любой вектор \((x;y;z)\) может быть выражен через линейную комбинацию векторов \(e_1\), \(e_2\) и \(e_3\):
\[
(x;y;z) = x \cdot (1;0;0) + y \cdot (1;1;0) + z \cdot (1;1;1)
\]
Раскроем скобки:
\[
(x;y;z) = (x + y + z; y + z; z)
\]
Таким образом, любой вектор пространства может быть выражен через линейную комбинацию векторов \(e_1\), \(e_2\) и \(e_3\), что означает, что они спанят всё пространство.

Таким образом, тройка векторов \(e_1(1;0;0)\), \(e_2(1;1;0)\) и \(e_3(1;1;1)\) является базисом.

2. Чтобы разложить вектор \(a(-2;0;-1)\) по данному базису, нужно найти координаты этого вектора в базисе.
Представим вектор \(a\) в виде линейной комбинации векторов \(e_1\), \(e_2\) и \(e_3\):
\[
a = x \cdot e_1 + y \cdot e_2 + z \cdot e_3
\]
Распишем это уравнение:
\[
\begin{pmatrix}
-2 \\ 0 \\ -1
\end{pmatrix} = x \cdot \begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix}
1 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix} + z \cdot \begin{pmatrix}
1 \\ 1 \\ 1
\end{pmatrix}
\]
Составим систему уравнений, приравняв координаты векторов:
\[
\begin{cases}
x + y + z = -2 \\
y + z = 0 \\
z = -1
\end{cases}
\]
Решим эту систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x = -1 \\
y = 1 \\
z = -1
\end{cases}
\]
Таким образом, координаты вектора \(a\) в базисе \(e_1\), \(e_2\) и \(e_3\) равны \((-1; 1; -1)\).

3. Чтобы найти расстояние от точки \(A(1;1)\) до прямой, заданной уравнениями \(x = -1+2t\) и \(y = -1-6t\), воспользуемся формулой расстояния от точки до прямой.
Формула расстояния от точки \((x_0, y_0)\) до прямой \(ax + by + c = 0\) имеет вид:
\[
d = \frac{{\left| ax_0 + by_0 + c \right|}}{{\sqrt{{a^2 + b^2}}}}
\]
Подставим координаты точки \(A(1,1)\) и коэффициенты из уравнений прямой:
\[
d = \frac{{\left| 2 \cdot 1 + (-6) \cdot 1 + 1 \right|}}{{\sqrt{{2^2 + (-6)^2}}}} = \frac{{\left| -3 \right|}}{{\sqrt{{40}}}}
\]
Таким образом, расстояние от точки \(A(1,1)\) до прямой равно \(\frac{{3}}{{\sqrt{{40}}}}\).

4. Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точку \(A(1;1;-1)\) и перпендикулярной плоскостям \(2x-y+5z+3 = 0\) и \(x+3y-z-7 = 0\), воспользуемся свойством перпендикулярности - вектор нормали плоскости, проходящей через \(A\), должен быть перпендикулярен векторам нормалей данных плоскостей.
Вектор нормали к плоскости можно найти по коэффициентам уравнения плоскости.

a) Найдем вектор нормали к плоскости \(2x-y+5z+3 = 0\):
Коэффициенты уравнения плоскости дают вектор \((2;-1;5)\) как вектор нормали.

b) Найдем вектор нормали к плоскости \(x+3y-z-7 = 0\):
Коэффициенты уравнения плоскости дают вектор \((1;3;-1)\) как вектор нормали.

Теперь найдем векторное произведение этих векторов, чтобы найти вектор нормали к искомой плоскости:
\((2;-1;5) \times (1;3;-1) = (14; 7; 7)\)

Таким образом, вектор нормали к искомой плоскости равен \((14;7;7)\).

Теперь, зная точку \(A\) и вектор нормали к плоскости, можем записать уравнение плоскости:
\(14(x-1) + 7(y-1) + 7(z+1) = 0\)

5. Чтобы найти уравнения проекции прямой \(\frac{{x-4}}{{3}} = \frac{{y+1}}{{-2}} = \frac{z}}{{4}}\) на плоскость \(x-3y-z+8=0\), воспользуемся формулой проекции вектора на плоскость.
Формула проекции вектора \((a,b,c)\) на плоскость \(Ax + By + Cz + D = 0\) имеет вид:
\[
\text{{Проекция}} = \left( a - \frac{{A \cdot(aA + bB + cC + D)}}{{A^2 + B^2 + C^2}}, b - \frac{{B \cdot(aA + bB + cC + D)}}{{A^2 + B^2 + C^2}}, c - \frac{{C \cdot(aA + bB + cC + D)}}{{A^2 + B^2 + C^2}} \right)
\]

Сначала найдем нормаль к плоскости \(x-3y-z+8=0\), коэффициенты уравнения плоскости дают вектор \((1,-3,-1)\) как вектор нормали.

Применим формулу проекции для вектора \((a,b,c)\):
\[
\text{{Проекция}} = \left( a - \frac{{(a \cdot 1 + b \cdot (-3) + c \cdot (-1) + 8) \cdot 1}}{{1^2 + (-3)^2 + (-1)^2}}, b - \frac{{(a \cdot 1 + b \cdot (-3) + c \cdot (-1) + 8) \cdot (-3)}}{{1^2 + (-3)^2 + (-1)^2}}, c - \frac{{(a \cdot 1 + b \cdot (-3) + c \cdot (-1) + 8) \cdot (-1)}}{{1^2 + (-3)^2 + (-1)^2}} \right)
\]
Упростим выражения:
\[
\text{{Проекция}} = \left( a - \frac{{(a - 3b - c + 8)}}{{11}}, b - \frac{{(3a + 9b + 3c - 24)}}{{11}}, c - \frac{{(-a + 3b + c - 8)}}{{11}} \right)
\]

Таким образом, уравнения проекции прямой \(\frac{{x-4}}{{3}} = \frac{{y+1}}{{-2}} = \frac{z}}{{4}}\) на плоскость \(x-3y-z+8=0\) имеют вид:
\[
\frac{{x - 4}}{{3}} - \frac{{(x - 3y - z + 8)}}{{11}} = \frac{{y + 1}}{{-2}} - \frac{{(3x + 9y + 3z - 24)}}{{11}} = \frac{{z}}{{4}} - \frac{{(-x + 3y + z - 8)}}{{11}}
\]