1) Докажите, что формула для вычисления большой полуоси орбиты двойной звезды может быть записана как a = альфа

Конечно! Давайте начнем с первой задачи.

1) Для доказательства формулы, которая связывает большую полуось орбиты двойной звезды с углами в секундах дуги, нам понадобятся некоторые базовые знания астрономии и геометрии.

Предположим, что у нас есть двойная звезда, где большая полуось орбиты обозначается как "a", "альфа" - угол в секундах дуги, а "пи" - математическая константа, примерное значение которой равно 3.14159.

В астрономии, секунды дуги используются для измерения углов в небесной сфере. Одна дуговая секунда соответствует углу, занимаемому точкой на небесной сфере, удаленной на расстояние 1/3600 градуса от наблюдателя.

Теперь давайте посмотрим на орбиту двойной звезды. Она представляет собой эллипс, и каждая звезда находится в одном из фокусов этого эллипса. Большая полуось "a" определяет протяженность полумажорной оси эллипса.

Теперь, чтобы доказать, что a = альфа/пи, мы воспользуемся следующими шагами:

Шаг 1: Используя геометрические свойства эллипса, можно показать, что расстояние между фокусом (звездой) и точкой на эллипсе равно a*(1-e), где "e" - эксцентриситет орбиты. Эксцентриситет характеризует степень отклонения орбиты от круговой формы и может быть выражен через эксцентриситетную аномалию.

Шаг 2: Так как у нас есть угол "альфа" в секундах дуги, мы можем использовать следующее представление: 2*пи*radians = 360 градусов, где "radians" - угол в радианах. Каждый градус содержит 60 минут дуги, а каждая минута содержит 60 секунд дуги. Таким образом, у нас есть альфа в секундах дуги.

Шаг 3: Используя вышеперечисленные представления и свойства эллипса, мы можем прийти к следующему уравнению:
$$a\ast (1-e)=(\alpha /2\pi )\ast (1\text{" or 1 arcsecond})$$

Шаг 4: Теперь, учитывая, что $a$ - большая полуось орбиты двойной звезды в астрономических единицах, мы можем сформулировать окончательное выражение:
$$a=\frac{\alpha }{\pi }$$

Данная формула связывает большую полуось орбиты двойной звезды с углом в секундах дуги, при условии, что оба значения выражены в тех же единицах.

Теперь перейдем ко второй задаче.

2) Чтобы вычислить сумму масс двойной звезды, исходя из расстояния и периода обращения спутника, мы можем использовать законы Кеплера.

Закон Кеплера, который нам понадобится, гласит: $T^2=\frac{4{\pi }^2{a}^3}{G(M_1+M_2)}$, где $T$ - период обращения спутника, $a$ - большая полуось орбиты, $G$ - гравитационная постоянная, $M_1$ и $M_2$ - массы компонентов двойной звезды.

Сначала нам необходимо перевести расстояние между спутником и главной звездой, выраженное в угловых секундах дуги, в астрономические единицы. Для этого мы должны знать, сколько астрономических единиц содержится в одной секунде дуги. По определению, астрономическая единица равна среднему расстоянию от Земли до Солнца и приблизительно равна 149,597,870.7 километров.

Используя это значение, переведем расстояние в астрономические единицы:
$$17,65\text{"}=17,65\times \frac{149,597,870.7\text{ km}}{1\text{ as}}=X\text{ а.е.}$$

Теперь, когда у нас есть значение большой полуоси орбиты $a$ в астрономических единицах и период обращения спутника $T$ в годах, мы можем решить уравнение Кеплера для определения суммы масс $M_1+M_2$.

$$T^2=\frac{4{\pi }^2{a}^3}{G(M_1+M_2)}$$

Заметьте, что для решения задачи нам нужно знать значение гравитационной постоянной $G$ и другие факторы, например, эксцентриситет орбиты или другие дополнительные данные о системе.

Это подробное и пошаговое решение позволит школьнику лучше понять процесс доказательства формулы для большой полуоси орбиты и применение закона Кеплера для вычисления суммы масс двойной звезды.