1. Доказать, что все грузы достигнут окружности одновременно, если они начали скользить по желобам, установленным вдоль

Задача 1. Доказательство того, что все грузы достигнут окружности одновременно, можно провести следующим образом:

Дано:
- Окружность с центром в точке O и радиусом R.
- Несколько желобов, установленных вдоль различных хорд окружности.
- Грузы, которые начинают скользить по желобам из точки P на верхнем конце вертикального диаметра окружности.
- Грузы не испытывают трения.

Доказательство:
1. Для начала обратимся к закону сохранения энергии, который позволяет нам утверждать, что полная механическая энергия грузов сохраняется во время их движения без трения.
2. Поскольку грузы начинают движение с одной и той же высоты и закон сохранения энергии является общим для всех грузов, мы можем утверждать, что в любой момент времени механическая энергия каждого груза будет одинакова.
3. Очевидно, что механическая энергия груза зависит от его потенциальной и кинетической энергий.
4. Потенциальная энергия груза будет определяться его высотой над определенной отправной точкой (например, положением P).
5. Кинетическая энергия груза будет зависеть от его скорости.
6. Таким образом, чтобы доказать, что все грузы достигнут окружности одновременно, необходимо показать, что их потенциальные и кинетические энергии одинаковы в любой момент времени.
7. Поскольку грузы начинают движение с одной и той же высоты и не испытывают трения, потенциальная энергия каждого груза будет одинакова.
8. Остается только проверить, что кинетическая энергия каждого груза одинакова.
9. Рассмотрим движение грузов по желобам. Поскольку трение отсутствует, то энергия грузов полностью сохраняется.
10. Следовательно, скорости грузов в любой момент времени будут одинаковыми, так как их кинетическая энергия будет одинаковой.
11. В итоге, идентичная потенциальная энергия и одинаковая кинетическая энергия всех грузов означают, что они достигнут окружности одновременно.

Задача 2. Для нахождения ускорения вектора w частицы, необходимо:

Дано:
- Положение частицы определяется радиус-вектором r, который меняется со временем по закону r = а*sin(w*t) + b*cos(w*t).
- а и b - постоянные векторы, а препендикулярен b, а w - положительная постоянная.

Решение:
1. Для начала обратимся к определению ускорения как второй производной по времени от положения, то есть \(a = \frac{{d^2r}}{{dt^2}}\).
2. Продифференцируем заданный закон изменения положения частицы r = а*sin(w*t) + b*cos(w*t) дважды по времени.
3. Получим: \(v = \frac{{dr}}{{dt}} = w(a*cos(w*t) - b*sin(w*t))\) - выражение для скорости частицы.
4. Продифференцируем выражение для скорости v по времени t, чтобы получить ускорение a.
5. \(a = \frac{{dv}}{{dt}} = -w^2(a*sin(w*t) + b*cos(w*t))\) - это и есть ускорение вектора w частицы.
6. Таким образом, ускорение вектора w частицы равно \(-w^2(a*sin(w*t) + b*cos(w*t))\).