1. Did I lose my smartphone just now or have I lost it? 2. Did she finish her homework already or has she finished

Конечно! Вот подробные ответы на ваши вопросы:

1. Did I lose my smartphone just now or have I lost it?
В данном случае, если вы потеряли свой смартфон только что, то ответ будет: "Did I lose my smartphone just now?" (Потерял ли я свой смартфон только что?).
Если вы хотите узнать, есть ли потерянный смартфон в результате некого предыдущего события, то ответ будет: "Have I lost my smartphone?" (Я потерял свой смартфон?).

2. Did she finish her homework already or has she finished it?
Если вы спрашиваете, закончила ли она свою домашнюю работу уже, то ответ будет: "Did she finish her homework already?" (Она уже закончила домашнюю работу?).
Если вы хотите узнать, есть ли завершенная домашняя работа в результате некого предыдущего события, то ответ будет: "Has she finished her homework?" (Она закончила свою домашнюю работу?).

3. Did Sarah travel to the UK last year or has she travelled?
Если вы хотите узнать, путешествовала ли Сара в Великобританию в прошлом году, то ответ будет: "Did Sarah travel to the UK last year?" (Сара путешествовала в Великобританию в прошлом году?).
Если вы хотите узнать, есть ли поездка в результате некого предыдущего события, то ответ будет: "Has Sarah travelled to the UK?" (Сара путешествовала в Великобританию?).

4. Did she start a new job at the office or has she started?
Если вы спрашиваете, начала ли она новую работу в офисе, то ответ будет: "Did she start a new job at the office?" (Она начала новую работу в офисе?).
Если вы хотите узнать, есть ли начатая работа в офисе в результате некого предыдущего события, то ответ будет: "Has she started a new job at the office?" (Она начала новую работу в офисе?).

5. Why did he go to Australia or why has he gone there?
Оба вопроса оправданы и могут быть использованы в зависимости от контекста.
Если вы хотите знать, почему он поехал в Австралию в прошлом, то ответ будет: "Why did he go to Australia?" (Почему он поехал в Австралию?).
Если вы хотите узнать, как причина поездки в Австралию может оказывать влияние на настоящее время, то ответ будет: "Why has he gone there?" (Почему он уехал туда?).

6. Did she mail me twice this week or has she mailed me twice?
Если вы хотите узнать, отправляла ли она вам два письма на этой неделе, то ответ будет: "Did she mail me twice this week?" (Она отправила мне два письма на этой неделе?).
Если вы хотите узнать, есть ли отправленные письма в результате некого предыдущего события, то ответ будет: "Has she mailed me twice?" (Она отправила мне два письма?).