1. Чему равна ширина кольца, образованного двумя концентрическими окружностями с одним центром, если хорда большей

1. Чтобы найти ширину кольца, образованного двумя концентрическими окружностями, мы можем использовать свойство касательной и хорды, проходящей через точку касания.

Для начала, давайте обозначим радиусы двух окружностей: \(r\) - радиус внешней окружности и \(r_1\) - радиус внутренней окружности.

Мы знаем, что хорда большей окружности касается меньшей и имеет длину 8. Это означает, что касательная, проведенная из точки касания до центра, будет перпендикулярной к хорде. Таким образом, наша задача - найти длину этой перпендикулярной линии, которая будет являться шириной кольца.

Мы можем воспользоваться свойством прямоугольного треугольника, в котором один катет равен половине длины хорды (так как хорда делит круг на две равные части) и гипотенуза равна радиусу большей окружности \(r\):

\(\frac{8}{2} = \frac{r - r_1}{2}\)

Упростим это уравнение:

\(4 = \frac{r - r_1}{2}\)

Умножим обе части на 2:

\(8 = r - r_1\)

Таким образом, ширина кольца, образованного двумя концентрическими окружностями, равна 8.

2. Чтобы найти путь, пройденный концами минутной и часовой стрелки за сутки на здании МГУ, мы должны вычислить длины обоих стрелок и умножить их на количество оборотов, которое они сделают за сутки.

Длина минутной стрелки составляет 4,13 м, а часовой - 3,70 м.

Минутная стрелка совершает полный оборот за 60 минут, то есть в 1 час. За сутки она совершит 24 оборота.

Длина пути минутной стрелки за сутки: \(4,13 \cdot 24 = 99,12\) м

Часовая стрелка совершает полный оборот за 12 часов. За сутки она совершит 2 оборота.

Длина пути часовой стрелки за сутки: \(3,70 \cdot 2 = 7,40\) м

Таким образом, концы минутной и часовой стрелки пройдут по зданию МГУ за сутки соответственно 99,12 м и 7,40 м.

3. Чтобы найти длину окружности, которая имеет вписанный в нее угол 40 градусов и описывает дугу длиной 16 см, мы можем использовать соотношение между углом и длиной дуги.

Угол вписанный в окружность соответствует половине угла, опирающегося на ту же дугу. Таким образом, мера угла в этом случае будет \(40/2 = 20\) градусов.

Арктангенс отношения длины дуги к радиусу окружности дает меру угла в радианах:

\(\theta = \frac{{16}}{{r}}\)

\(20^{\circ} = \frac{{\pi \cdot \theta}}{{180}}\)

Давайте решим это уравнение:

\(\frac{{\pi \cdot \theta}}{{180}} = \frac{{20}}{{360}} \cdot 2\pi\)

Упростим:

\(\theta = \frac{{20}}{{360}} \cdot 2\pi \cdot \frac{{180}}{{\pi}} = 20\) радиан

Теперь мы можем найти радиус окружности, используя соотношение:

\(\theta = \frac{{\text{{длина дуги}}}}{{r}}\)

\(20 = \frac{{16}}{{r}}\)

Умножим обе стороны на \(r\):

\(20r = 16\)

Разделим обе стороны на 20:

\(r = \frac{{16}}{{20}} = 0,8\) см

Таким образом, радиус окружности равен 0,8 см, а ее длина будет равна \(2\pi \cdot 0,8 = 1,6\pi\) см.

4. Чтобы найти радиус треугольника АВС с известными сторонами АВ и ВС, а также соотношением между углами, мы можем использовать закон синусов.

Известно, что \(АВ = 2\), \(ВС = 3\) и угол ВАС в три раза больше угла ВСА.

Обозначим угол ВСА как \(\alpha\). Тогда угол ВАС будет равен \(3\alpha\).

Закон синусов утверждает следующее:

\(\frac{{\sin \alpha}}{{2}} = \frac{{\sin 3\alpha}}{{3}}\)

Давайте решим это уравнение:

\(\frac{{\sin \alpha}}{{2}} = \frac{{\sin 3\alpha}}{{3}}\)

Умножим обе стороны на 6:

\(3\sin \alpha = 2\sin 3\alpha\)

Заменим \(\sin 3\alpha\) на \(3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha\):

\(3\sin \alpha = 2(3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha)\)

Раскроем скобки:

\(3\sin \alpha = 6\sin \alpha - 8\sin^3 \alpha\)

Перенесем все в одну часть уравнения:

\(8\sin^3 \alpha - 3\sin \alpha + 6\sin \alpha = 0\)

Сократим на \(\sin \alpha\):

\(8\sin^2 \alpha - 3 + 6 = 0\)

\(8\sin^2 \alpha = -3\)

Мы не можем получить действительные значения для синуса угла, поэтому задача не имеет решения.

5. Чтобы найти меру центрального угла окружности с радиусом 4 см, мы можем использовать соотношение между мерой центрального угла и длиной дуги.

Мера центрального угла опирается на дугу радиуса и равна отношению длины дуги к радиусу:

\(\theta = \frac{{\text{{длина дуги}}}}{{r}}\)

Мы знаем, что радиус окружности равен 4 см. Длина дуги не указана.

Однако, если мы предположим, что полная длина окружности составляет \(2\pi \cdot r\), мы можем найти меру центрального угла:

\(\theta = \frac{{2\pi \cdot r}}{{r}} = 2\pi\)

Таким образом, мера центрального угла окружности с радиусом 4 см равна \(2\pi\) радиан.