1. Чему равна длина отрезка MN в прямоугольном треугольнике MNK с прямым углом K, если известно, что KM = 20 и KN

1. Для определения длины отрезка MN в прямоугольном треугольнике MNK, мы можем воспользоваться Теоремой Пифагора. Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. В нашем случае, KM и KN являются катетами, поэтому мы можем записать уравнение:
\[KM^2 + KN^2 = MN^2\]
Подставляя значения KM = 20 и KN = 21, мы получаем:
\[20^2 + 21^2 = MN^2\]
\[400 + 441 = MN^2\]
\[841 = MN^2\]
Чтобы найти длину отрезка MN, мы можем извлечь квадратный корень из обеих сторон уравнения:
\[MN = \sqrt{841}\]
\[MN = 29\]
Таким образом, длина отрезка MN равна 29.

2. Высота, опущенная на гипотенузу в прямоугольном треугольнике MNK, является отрезком, соединяющим вершину прямого угла треугольника с серединой гипотенузы. В нашем случае, высота будет проходить через точку K и перпендикулярно гипотенузе MN. Таким образом, высота будет разделять гипотенузу на две равные части. Величина этой высоты равна половине произведения катетов, деленной на длину гипотенузы. В нашем случае, KM и KN являются катетами, а MN - гипотенузой. Поэтому, высоту (h) можно найти, используя формулу:
\[h = \frac{KM \cdot KN}{MN}\]
Подставляя значения KM = 20, KN = 21 и MN = 29, мы получаем:
\[h = \frac{20 \cdot 21}{29}\]
\[h = \frac{420}{29}\]
Таким образом, высота, опущенная на гипотенузу, равна приблизительно 14.48.

3. В прямоугольном треугольнике MNK, вписанная окружность касается всех трех сторон треугольника. Радиус этой окружности (r) является расстоянием от центра окружности до любой из сторон треугольника. В нашем случае, чтобы найти радиус вписанной окружности, мы можем воспользоваться формулой, связывающей площадь треугольника (S) с полупериметром треугольника (p) и радиусом вписанной окружности (r):
\[S = p \cdot r\]
где
\[p = \frac{KM + KN + MN}{2}\]
Подставляя значения KM = 20, KN = 21 и MN = 29, мы можем найти полупериметр:
\[p = \frac{20 + 21 + 29}{2}\]
\[p = \frac{70}{2}\]
\[p = 35\]
Теперь мы можем использовать формулу, чтобы найти радиус вписанной окружности:
\[S = p \cdot r\]
\[r = \frac{S}{p}\]
Площадь прямоугольного треугольника можно найти используя формулу:
\[S = \frac{KM \cdot KN}{2}\]
Подставляя значения KM = 20 и KN = 21, мы получаем:
\[S = \frac{20 \cdot 21}{2}\]
\[S = \frac{420}{2}\]
\[S = 210\]
Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности:
\[r = \frac{210}{35}\]
\[r = 6\]
Таким образом, радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике MNK равен 6.

4. Радиус описанной окружности в прямоугольном треугольнике MNK является расстоянием от центра окружности до вершины треугольника. Чтобы найти радиус описанной окружности (R), мы можем использовать следующую формулу, связывающую радиус описанной окружности с полупериметром треугольника и площадью треугольника:
\[R = \frac{MN}{2}\]
В нашем случае, мы знаем, что длина гипотенузы MN равна 29, поэтому радиус описанной окружности:
\[R = \frac{29}{2}\]
\[R = 14.5\]
Таким образом, радиус описанной окружности в прямоугольном треугольнике MNK равен 14.5.

5. Площадь прямоугольного треугольника MNK можно найти, используя следующую формулу:
\[S = \frac{KM \cdot KN}{2}\]
Подставляя значения KM = 20 и KN = 21, мы получаем:
\[S = \frac{20 \cdot 21}{2}\]
\[S = \frac{420}{2}\]
\[S = 210\]
Таким образом, площадь прямоугольного треугольника MNK равна 210.

6. В прямоугольном треугольнике MNK, синус большего острого угла равен отношению противоположного катета к гипотенузе. В нашем случае, гипотенуза MN равна 29, а противоположный катет является KN, который равен 21. Поэтому, синус большего острого угла (sin A), может быть найден по формуле:
\[sin A = \frac{KN}{MN}\]
Подставляя значения KN = 21 и MN = 29, мы получаем:
\[sin A = \frac{21}{29}\]
Таким образом, синус большего острого угла в прямоугольном треугольнике MNK равен примерно 0.724.

7. В прямоугольном треугольнике MNK, косинус меньшего острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. В нашем случае, гипотенуза MN равна 29, а прилежащий катет является KM, который равен 20. Поэтому, косинус меньшего острого угла (cos A) может быть найден по формуле:
\[cos A = \frac{KM}{MN}\]
Подставляя значения KM = 20 и MN = 29, мы получаем:
\[cos A = \frac{20}{29}\]
Таким образом, косинус меньшего острого угла в прямоугольном треугольнике MNK равен примерно 0.689.

8. Внешний угол в прямоугольном треугольнике MNK является суммой двух внутренних углов треугольника. Тангенс внешнего угла может быть найден, используя соотношение тангенса суммы двух углов. В нашем случае, внешний угол равен сумме прямого угла и меньшего острого угла. Тангенс суммы двух углов (tangent A + B) можно найти, используя формулу:
\[tan(A + B) = \frac{tan A + tan B}{1 - tan A \cdot tan B}\]
В нашем случае, A представляет собой прямой угол (90 градусов), B представляет собой меньший острый угол. Из предыдущих ответов мы знаем значения тангенса прямого угла (tan 90 градусов) и меньшего острого угла (tan B). Нам нужно только подставить эти значения в формулу для нахождения значения тангенса внешнего угла. Для удобства мы примем, что tan 90 градусов равен бесконечности.
\[tan(90^\circ + B) = \frac{\infty + \left(\frac{21}{20}\right)}{1 - \infty \cdot \left(\frac{21}{20}\right)}\]
\[tan(90^\circ + B) = \frac{\infty + \left(\frac{21}{20}\right)}{1 - \infty}\]
\[tan(90^\circ + B) = -\frac{21}{20}\]
Таким образом, тангенс внешнего угла в прямоугольном треугольнике MNK равен \( -\frac{21}{20} \).