1. Автомобиль проезжает по круговой дороге с радиусом 100 метров. а) Какое расстояние автомобиль преодолеет, совершив

Конечные ответы для каждой части задачи:

а) Расстояние, преодоленное автомобилем после 3 полных оборотов по круговой дороге радиусом 100 метров, вычисляется по формуле \(L = 2\pi r\), где \(L\) - длина окружности, \(r\) - радиус окружности. В данном случае, радиус \(r = 100\) метров, поэтому

\[L = 2\pi \cdot 100 = 200\pi \approx 628.32\]

Таким образом, автомобиль преодолеет около 628.32 метров.

б) Наименьшее расстояние, которое автомобиль преодолеет, когда его перемещение достигнет 200 метров, происходит, когда автомобиль проезжает часть окружности длиной 200 метров. Длина этой части находится по формуле \(L = 2\pi r \cdot \frac{d}{360}\), где \(d\) - угол, на который повернулся автомобиль. Мы ищем угол, при котором участок пути равен 200 метров, поэтому:

\[200 = 2\pi \cdot 100 \cdot \frac{d}{360}\]

Чтобы найти угол \(d\), решим данное уравнение:

\[d = \frac{200 \cdot 360}{2\pi \cdot 100} \approx 114.59\]

Таким образом, наименьшее расстояние, которое автомобиль преодолеет, равно примерно 114.59 метров.

в) Расстояние, преодоленное автомобилем, когда пройденное им расстояние станет больше перемещения в 3π/2 раза, зависит от угла \(d\) поворота автомобиля. По формуле из предыдущей части:

\[L = 2\pi \cdot 100 \cdot \frac{d}{360}\]

Расстояние, которое автомобиль преодолеет, когда пройденное им расстояние станет больше перемещения в 3π/2 раза (обозначим это расстояние как \(x\)), можно записать в виде уравнения:

\[x = 2\pi \cdot 100 \cdot \frac{d}{360} \cdot \frac{3\pi}{2}\]

Для решения этого уравнения, мы знаем, что \(d = \frac{2x}{2\pi \cdot 100}\), поэтому:

\[x = 2\pi \cdot 100 \cdot \frac{\frac{2x}{2\pi \cdot 100}}{360} \cdot \frac{3\pi}{2}\]

Решим данное уравнение:

\[x = \frac{\frac{x}{3} \cdot \pi \cdot 3\pi}{180} \cdot 100 = \frac{x \cdot \pi^2}{30} \approx 10.475x\]

Таким образом, расстояние, которое автомобиль преодолеет, составит примерно 10.475 раз больше, чем перемещение.

2.

а) Чтобы найти расстояние, пройденное туристом после 3 километров после поворота, нужно сложить расстояния текущего положения туриста и расстояние, пройденное после поворота. Расстояние на каждом отрезке вычисляется по теореме Пифагора:

\[d = \sqrt{a^2 + b^2}\]

где \(a\) и \(b\) - длины двух сторон прямоугольного треугольника.

Текущая дорога прямая и имеет длину 2 километра. После поворота, движение также происходит по прямой дороге, поэтому расстояние на втором отрезке также составит 3 километра.

\[d = \sqrt{(2 \text{ км})^2 + (3 \text{ км})^2} \approx 3.61 \text{ км}\]

Таким образом, турист пройдет примерно 3.61 километра.

б) Если нас интересует расстояние от начальной точки до точки назначения после поворота, то это будет равно гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 2 километра и 3 километра.

\[d = \sqrt{(2 \text{ км})^2 + (3 \text{ км})^2} \approx 3.61 \text{ км}\]

Таким образом, расстояние от начальной точки до точки назначения после поворота также составит примерно 3.61 километра.