1. Are the probabilities of getting heads twice and getting heads on one toss and tails on the other the same?

1. Вероятности "получить два раза герб" и "получить герб на одном броске и решку на другом" одинаковы?

Да, вероятности "получить два раза герб" и "получить герб на одном броске и решку на другом" действительно одинаковы. Обоснуем это.

Пусть событие A - "получить герб на первом броске" и событие B - "получить герб на втором броске". Вероятность события A равна 1/2, так как есть два возможных исхода: герб или решка, и герб считается одним из исходов. Также, вероятность события B также равна 1/2 по тем же причинам.

Теперь рассмотрим событие C - "получить герб на одном броске и решку на другом". Это событие может произойти двумя способами: либо сначала герб, а потом решка (A и B), либо сначала решка, а потом герб (B и A). Вероятность каждого из этих исходов равна (1/2) * (1/2) = 1/4.

Итак, вероятность события C, то есть "получить герб на одном броске и решку на другом", равна сумме вероятностей двух возможных исходов, то есть 1/4 + 1/4 = 1/2.

Таким образом, вероятности "получить два раза герб" и "получить герб на одном броске и решку на другом" действительно одинаковы и равны 1/2.

2. Подбросили две кости: желтую и зеленую. Вычислите вероятность:
a) "сумма чисел на обеих костях равна 7";
b) "сумма чисел на обеих костях больше 8, и на зеленой кости выпало больше двух очков";
c) "на желтой кости выпало больше очков, чем на зеленой".

a) Для вычисления вероятности события "сумма чисел на обеих костях равна 7" нам необходимо определить все возможные комбинации, которые дают такую сумму. Виды комбинаций делятся на 6:

- 1 и 6 на желтой и зеленой костях соответственно,
- 2 и 5,
- 3 и 4,
- 4 и 3,
- 5 и 2,
- 6 и 1.

Всего у нас есть 36 равновероятных исходов (6 возможных значений на желтой кости и 6 возможных значений на зеленой кости). Таким образом, вероятность получить сумму 7 равна 6/36, что может быть упрощено до 1/6.

b) Найдем вероятность события "сумма чисел на обеих костях больше 8, и на зеленой кости выпало больше двух очков". Возможные комбинации, удовлетворяющие этому условию, это:

- 3 и 6 на желтой и зеленой костях соответственно,
- 4 и 5,
- 5 и 4,
- 6 и 3.

Вероятность каждой комбинации составляет 1/36. Из 36 равновероятных исходов, удовлетворяющих этому условию, 4 из них соответствуют требуемым комбинациям. Таким образом, вероятность данного события равна 4/36, что может быть упрощено до 1/9.

c) Вероятность события "на желтой кости выпало больше очков, чем на зеленой" будет зависеть от конкретных значения на костях. Так как у обеих костей 6 возможных значений, возможны следующие комбинации:

- (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1),
- (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2),
- (4, 3), (5, 3), (6, 3),
- (5, 4), (6, 4),
- (6, 5).

Из этих 30 комбинаций, удовлетворяющих нашему условию, 15 соответствуют "на желтой кости выпало больше очков, чем на зеленой". Вероятность каждой комбинации составляет 1/36, поэтому вероятность данного события равна 15/36, что может быть упрощено до 5/12.

3. Подбросили справедливую игральную кость дважды. Известно, что произведение выпавших чисел является четным. Найдите вероятность:
a) "получить 5 очков при одном из бросков";
b) "получить сумму 10 при обоих бросках".

a) Чтобы найти вероятность события "получение 5 очков при одном из бросков", нам необходимо определить все комбинации, которые удовлетворяют этому условию. Известно, что произведение выпавших чисел является четным. Тогда мы можем получить 5 по-разному при броске:

- 1 и 5,
- 5 и 1.

Из 36 возможных равновероятных исходов нам подходят 2 комбинации. Таким образом, вероятность получить 5 очков при одном из бросков равна 2/36, что может быть упрощено до 1/18.

b) Для нахождения вероятности события "получение суммы 10 при обоих бросках" нам необходимо определить комбинации, отвечающие этому условию. Мы должны найти все комбинации чисел на игральной кости, которые в сумме дают 10. Возможные комбинации:

- (4, 6), (6, 4),
- (5, 5).

Из 36 возможных равновероятных исходов нам подходят 3 комбинации. Таким образом, вероятность получить сумму 10 при обоих бросках равна 3/36, что может быть упрощено до 1/12.

Надеюсь, эти пошаговые решения помогут вам понять и решить данные задачи. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь!