1) ABCD is a trapezoid, AK:KB = 2:7 (fig. 260). a) Demonstrate that RK:VK = AK - KC. b) Determine the ratio

Дана трапеция ABCD, в которой AK:KB = 2:7. Нам нужно:

a) Доказать, что RK:VK = AK - KC.
b) Определить отношение площадей и периметров треугольников APK и BCK.

Начнем с пункта a) и докажем, что RK:VK = AK - KC.

Внимательно рассмотрим треугольники APK и BCK. Мы знаем, что AK:KB = 2:7. Это значит, что отрезок AK в 2 раза короче отрезка KB.

Теперь обратим внимание на трапецию ABCD. Мы можем заметить, что отрезок AK является диагональю трапеции. Диагональ трапеции делит смежные боковые стороны пропорционально. То есть, отрезок AK делит стороны BC и AD в той же пропорции, что и AK:KB.

Теперь вернемся к треугольнику APK. Рассмотрим точку пересечения продолжений боковых сторон треугольников APK и BCK и обозначим ее буквой R. Таким образом, отрезок RK является продолжением боковой стороны треугольника APK.

Воспользуемся полученным результатом: AK делит стороны BC и AD в пропорции 2:7. Это значит, что пропорция между отрезками RK и KV также будет 2:7.

Теперь рассмотрим треугольник BCK. Поскольку отрезок AK является диагональю трапеции, RK и KC будут продолжениями боковых сторон треугольника BCK.

Таким образом, мы можем утверждать, что RK:VK = AK - KC.

Теперь перейдем к пункту b) и определим отношение площадей и периметров треугольников APK и BCK.

Чтобы найти отношение площадей треугольников, нам нужно выразить площади этих треугольников через известные данные.

Площадь треугольника равна половине произведения длины основания и высоты, опущенной на данное основание.

Для треугольника APK длина основания равна AK, а высота опущена из точки K на основание APK. Таким образом, площадь треугольника APK можно выразить следующим образом:

\[Площадь_{APK} = \frac{1}{2} \times AK \times h_1\]

Аналогично для треугольника BCK:

\[Площадь_{BCK} = \frac{1}{2} \times KC \times h_2\]

Теперь определим отношение площадей:

\[\frac{Площадь_{APK}}{Площадь_{BCK}} = \frac{\frac{1}{2} \times AK \times h_1}{\frac{1}{2} \times KC \times h_2}\]

Заметим, что \(\frac{1}{2}\) сокращаются, а \(h_1\) и \(h_2\) обусловлены диагональю трапеции ABCD.

Теперь перейдем к отношению периметров треугольников APK и BCK.

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон.

Для треугольника APK длина стороны AK равна AK, стороны AP и KP равны соответственно KC и CK. Таким образом, периметр треугольника APK будет:

\[Периметр_{APK} = AK + KC + CK\]

Аналогично для треугольника BCK:

\[Периметр_{BCK} = KC + CK + KB\]

Теперь определим отношение периметров:

\[\frac{Периметр_{APK}}{Периметр_{BCK}} = \frac{AK + KC + CK}{KC + CK + KB}\]

Это выражение представляет отношение периметров треугольников APK и BCK.

Таким образом, мы ответили на оба пункта задачи.